Mavzu: Egri chiziqli integrallar Reja: Kirish Asosiy qism

3. Egri chiziq bilan chegaralangan sohaning yuzi egri chiziqli integral orqali ifodalash.


1-rasm
Oxy tekislikda L kontur bilan chegaralangan shunday D soha berilgan bo’lsinki, bu sohaning ichki nuqtasi orqali koordinata o’laridan birortasiga parallel holda o’tuvchi ixtiyoriy to’g’ri chiziq sohaning L chegarasini ko’p deganda ikki nuqtada kessin (ya’ni D to’g’ri soha bo’lsin) (1-rasm).
D soha Ox o’qidagi [a, b] kesma proeksiyalanadi, bunda soha pastdan

( ) egri chiziq bilan chegaralanadi, yuqoridan esa


( ) egri chiziq bilan chegaralanadi, deb faraz qilamiz. U holda D sohaning yuzi:

Biroq tenglama egri chiziqning tenglamasi bo’lgandan, birinchi integral shu egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integraldir; demak,

Ikkinchi integral esa egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integral, ya’ni:

Egri chiziqli integralning 1- xossasiga asosan:


Demak,

Bu holda L egri chiziq soat strelkasi yo’nalishiga teskari yo’nalishda aylanib chiqiladi.

2-rasm
Agar L chegaraning bir qismi Oy o’qqa parallel bo’lgan M₁M kesmadan iborat bo’lsa, u holda

bo’ladi va (5) tenglik bu shartda ham o’z kuchini saqlaydi (2-rasm).
Shunga o’xshash

ekanligini ham ko’rsatish mumkin.
(1.3.5) va (1.3.6) tengliklarni hadlab qo’shib va 2 ga bo’lib, S yuzni hisoblash uchun yana bitta:

formulani hosil qilamiz.
3-misol. elipsning yuzi hisoblansin.
Yechish. (1.3.7) formula bo’yicha quydagini hosil qilamiz:

(1.3.7) formula, shuningdek, (1.3.5) va (1.3.6) formulalar ham chegarasi koordinata chiziqlari bilan ikkitadan ortiq nuqtada kesishadigan yuzalar uchun ham o’rinli ekanligini ko’ramiz (1.3.3-rasm).

3-rasm
Buni isbot qilish uchun berilgan sohani (1.3.3-rasm) chiziq yordami bilan ikkita to’g’ri sohaga ajratamiz. Ularning har biri uchun (1.3.7) formula o’rinlidir. So’ngra hosil qilingan chap va o’ng qismlarini qo’shib, chapda berilgan sohaning yuzini, o’ngda-butun chegara bo’yicha olingan ( koefitsentli) egri chiziqli integralni hosil qilamiz, egri chiziqliintegral bo’luvchi chiziq bo’yicha ikki marta-to’g’ri va teskari yo’nalishda olingani uchun u nolga teng.

1. 
   Biror L egri chiziqli yo’lda o’zgaruvchi F kuchning bajargan ishini hisoblash haqidagi masala.
   

kuchning L=MN chiziq bo’yicha bajargan ishi ushbu:

egri chiziqli integralga teng.
Konkiret hollarda kuchning bajargan ishini qanday hisoblashni ko’rsatuvchi misol qarab chiqamiz.

4-rasm
4-misol. m massa nuqtadan nuqtaga ixtiyoriy L yo’l bo’yicha siljishidagi F og’irlik kuchi bajargan A ishi aniqlansin (1.3.4-rasm).
Yechish. F og’irlik kuchining koordinata o’qlardagi proeksiyalari:
X=0, Y=0, Z=-mg.
Demak, izlanayotgan ish:

Demak, bu holda egri chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmay, faqat boshlang’ich va oxirgi nuqtalarga bog’liq bo’ladi. Aniqroq qilib aytganda, og’irlik kuchining bajargan ishi faqat yo’lning boshlang’ich va oxirgi nuqtalarning balandliklari orasidagi ayirmasiga bog’liq bo’ladi.