Mavzu: Egri chiziqli integrallar Reja: Kirish Asosiy qism

2. Egri chiziqli integralni hisoblash
Biz bu panagrifda oldingi panagrifdagi (1) yig’indining limiti haqidagi tushunchani aniqlaymiz, shu munosabat bilan egri chiziqli integral haqidagi tushunchani ham aniqlaymiz va uni hisoblash usulini ko’rsatamiz.
L egri chiziq o’zining parametrik shaklidagi tenglamalari bilan berilgan bo’lsin:

Bu egri chiziqning yoyini qarab chiqamiz (1.2.1-rasm).

1-rasm
M va N nuqtalarga parametrlarning va qiymatlri mos kelsin. MN yoyni M(x₁,y₁), M(x₂,y₂), …, M(x_n,y_n) nuqtalar bilan bo’laklarga bo’lamiz, bunda deb olamiz.
Oldingi panagrifda aniqlangan

egri chiziqli integralni qaraymiz.
Egri chiziqli integralning mavjudligi haqidagi teoremani isbotisiz keltiramiz.
Teorema. Agar va funksiyalar uzluksiz va uzluksiz hosilalarga ega, shuningdek X[ , ] va Y[ , ] funksiyalar t argumentning funksiyasi sifatida [ ] kesmada uzluksiz bo’lsa, u holda

limitlari mavjud bo’ladi. Bunda, lar yoyda yotuvchi biror nuqtaning koordinatalari. Bu limitlar da L yoyni yoychalarga bo’lish usuliga va yoyda nuqtaning tanlab olinishiga bog’liq emas; ular egri chiziqli integrallar deb ataladi va bunday belgilanadi:

Izoh. Teoremadan oldingi panagrifda aniqlangan yig’indini ham o’sha limitga, ya’ni egri chiziqli integralga intilishi kelib chiqadi, bunda nuqtalar yoyning oxirgi uchlari, L yoyni bo’laklarga bo’lish sistemasi esa ixtiyoriydir.
Ifodalangan teorema egri chiziqli integralni hisoblash usulini hosil qilishga imkon beradi.
Demak, ta’rifga asosan:

bunda

So’ngi ayirmani Lagranj formulasi bo’yicha almashtiramiz:

bunda miqdor t ning t_i-1 va t_i qiymatlari orasidagi biror qiymati. nuqtani yoyda ixtiyoriy ravishda tanlab olish mumkin bo’lgandan, uni shunday tanlab olish mumkinki, uning koordinatalari parametrning:

qiymatlarga mos kelsin. va ningtopilgan qiymatlarni (3) formulaga qo’ysak:

O’ng tamondagi ifoda [ ] kesmada olingan bitta o’zgaruvchining uzluksiz funksiyasi integral yig’indisining limitidir.
Demak , bu limit shu funksiyaning aniq integraligateng:

Xuddi shuningdek,

formula hosil qilinadi. Bu tengliklarni hadlab qo’shsak:

+
Bu esa egri chiziqli integralni hisoblash uchun izlangan formulaning o’zi dir. tenglamalar bilan berilgan fazoviy egri chiziq bo’yicha

egri chiziqli integral ham shuning singari hisoblanadi.
1-misol. Quydagi uchta x³, 3zy², -x²y funksiyaning (yoki barbir x³i+3zy²j-x²yk vektor funksiyaning) egri chiziqli integrali M(3,2,1) nuqtadan chiqib, N(0,0,0) nuqtaga tamon yo’naltiruvchi to’g’ri chiziq kesmasi bo’yicha hisoblansin(1.2.2-rasm).

2-rasm
Yechim. Integrallash kerak bo’lgan MN chiziqning parametric tenglamasini toppish uchun berilgan ikki nuqtadan o’tuvchi to’g’ri chizqning

tennglamasini yozib, bu nisbatlarning hammasini bitta t harfi bilan belgilaymiz va to’g’ri chiziqning

ko’rinishidagi parametric tenglamasini hosil qilamiz. Bunda MN kesmaning bosh uchiga esa parametrning t=1 qiymati, oxirgi uchiga esa parametrning t=0 qiymati mos keladi. x, y, z dan t parameter bo’yicha olingan (egri chiziqli integralni hisoblashda kerak bo’ladigan ) hosilalar osongina topiladi:

Endi izlanayotgan egri chiziqli integralni (4) formula yordami bilan hisoblash mumkin:

2-misol. funksiyalar juftining egri chiziqli integrali tekis egri chiziqning M(1, 1) nuqtadan N(2, 8) nuqtasigacha olingan bo’lagi hisoblansin(1.2.3-rasm).

3-rasm
Yechish. Izlanayotgan

integralni hisoblash uchun berilgan egri chiziqning parametric tenglamasini toppish kerak. Biroq egri chiziqning y=x³ oshkor tenglamasi parametric tenglamaning xususiy holidir: bunda x absissasi egri chiziq nuqtasining parametric tenglamasi quydagi ko’rinishida bo’ladi.

parametr =1 dan =2 gacha o’zgaradi. Parameter bo’yicha olingan hosilalarni osongina hisoblash mumkin:

Demak,