Mavzu: Egri chiziqli integrallar Reja: Kirish Asosiy qism

Ishining maqsadi: Amaliyotda eng ko’p uchraydigan integrallar bu bir o’zgaruvchili integrallar hisoblanadi. Boshqa integrallar ma’lum shartlar ostida bu integrallash qoidasiga bo’ysinadi. Shuning uchun egri chiziqli soha bo’yicha integrallarni o’rganish uchun egri chiziqli integrallarning o’zini yaxshi bilish muhim hisoblanadi. Ular jumlasiga Stoks va Grin formulalarini o’rganish kiradi.
Ishining vazifalari: Egri chiziqli integrallar va soha bo’yicha integrallarni o’rganish. Egri chiziqli integral, ikki va uch karrali soha soha bo’yicha integrallarni o’rganish.
Ishining amaliy ahamiyati: Oliy o’quv yurtlarining “Matematika” ta’lim yo’nalishi bakalavr talabalari uslubiy qo’llanma sifatida foydalanishlari mumkin.
Egri chiziqli integral, Grin formulasi, Egri chiziq bilan chegralangan sohaning yuzi egri chiziqli integral orqali ifodalash, ikki va uch karrali soha soha bo’yicha integrallarni o’rganish.

1. Egri chiziqli integral
P(x,y) nuqta biror L tekis chiziq bo’ylab M nuqtadan N nuqtaga harakatlanayotgan bo’lsin. P nuqta miqtori va yo’nalishi o’zgaradigan, yani P nuqta koordinatalarning biror funksiyasi bo’lgan
F=F(P)
kuch qo’yilgan bo’lsin.
F kuchning P nuqtani M vaziyatdan N vaziyatga siljitishda bajargan A ishini hisoblaymiz (1-rasm).

1-rasm
Buning uchun MN egri chiziqni M₀=M, M₁, M₂, … ,M_n=N nuqtalar yordamida M dan N ga qarab ixtiyoriy n bo’lakka bo’lib chiqamiz va vektorni bilan belgilaymiz. F kuchning nuqtadagi miqdorini bilan belgilaymiz. U vaqtda skalyar ko’paytmani F kuchning yoy bo’yicha bajargan ishning taqribiy ifodasi deb qarash mumkin:

Endi
F=X(x,y)i+Y(x,y)j
bo’lsin, bundagi X(x,y) va Y(x,y) lar F vektorning OX va OY o’qlardagi proeksiyalari, x_i va y_i koordinatalarning M_i nuqtadan M_i+1 nuqtaga o’tishdagi ortirmalarini va bilan belgilab, quydagini hosil qilamiz:
i+ j.
Demak,
.
F kuchning butun MN egri chiziq bo’yicha bajargan A ishning taqribiy qiymati quydagicha bo’ladi:


Hozircha aniq ta’rifni bermasdan agar da tenglikning o’ng tamonidagi ifodaning limiti mavjud bo’lsa (bunda va ekanligi ravshan), bu limit F kuchning L egri chiziq bo’yicha M nuqtadan N nuqtagacha bajargan ishini ifodalaydi:


O’ng tamondagi limit X(x,y) va Y(x,y) funksiyalarning L egri chiziq bo’yicha olingan egri chiziqli integrali deb ataladi va quydagicha belgilanadi:

yoki

(2) ko’rinishidagi yig’indining limitlari ko’pincha matematika va mexanikada uchrab turadi, bunda X(x,y) va Y(x,y) ikkita o’zgaruvchining biror D sohadagi funksiyalari deb qaraladi.
Integrallash chegaralari o’ziga qo’yilganM va N harflari sonini emas, balki egri chiziqli integral olinishi kerak bo’lgan chiziqning boshlang’ich va oxirgi nuqtalarni bildirganligi uchun ular qavs ichiga olib yozilgan. L egri chiziq bo’yicha M nuqtadan N nuqtaga qarab olingan yo’nalish integrallash yo’nalishi deb ataladi.
Agar L fazoviy egri chiziq bo’lsa,u holda uchta X(x,y,z),Y(x,y,z) va Z(x,y,z) funksiyaning egri chiziqli integrali yuqoridagi singari aniqlanadi.



Integral belgisi ostida turgan L harfi integrallashni L egri chiziq bo’yicha bajarish kerakligini ko’rsatadi.
Egri chiziqli integralning ikkita xossasini ko’rib chiqamiz.

2-rasm