Mavzu: Egri chiziqli integrallar Reja: Kirish Asosiy qism

4. Grin formulasi
Biror D tekis soha bo’yicha olingan ikki o’lchovli integral bilan shu sohaning L chegarasi bo’yicha olingan egri chiziqli integral orasidagi munosabatni aniqlaymiz.
Oxy tekislikda L yopiq kontur bilan chegaralangan Ox o’q yo’nalishida ham, Oy o’q yo’nalishida ham to’g’ri bo’lgan D yopiq soha berilgan bo’lsin. Bu soha pastdan y=y₁(x) egri chiziq bilan yuqoridan esa y= y₂(x) egri chiziq bilan chegaralangan va ( ) bo’lsin (1.3.6-rasm).
Bu ikkala egri chiziq birgalikda L yopiq konturni tashkil etadi. D soha uzluksiz xususiy hosilalarga ega bo’lgan X(x,y) va Y(x,y) uzluksiz funksiyalar berilgan bo’lsin.
Endi ushbu

integralni qarab chiqamiz. Uni ikki karrali integral shaklida tasvirlab quydagini hosil qilamiz:



integral son jihatdan tenglamasi parametric shaklda x=x, y= bo’lgan (x-parametr) MPN egri chiziqli integralga teng ekanligini ko’rsata miz. Shunday qilib,

Shunga o’xshash

integral son jihatdan MQN yoy bo’yicha olingan quydagi egri chiziqli integralga teng:

(1) va (2) ifodalarni (3) formulaga qo’ysak:

Biroq,

(1-paragrafdagi 1-xossaga qarang). Demak, (3) formulani bunday yozish mumkin:

Biroq, o’n tamondagi egri chiziqli integralning yig’indisi soat strelkasi bo’yicha yo’nalgan yopiq L egri chiziqning barcha uzunligi bo’yicha olingan egri chiziqli integralga teng. Demak so’ngi tenglikni ushbu shaklga keltirish mumkin:

Agar chegaraning biror qismi Oy o’qqa parallel bo’lgan kesmadan iborat bo’lsa,

va (4) tenglik bu holda ham o’z kuchida qoladi.
Xuddi shuningdek, quydagini topamiz:

(4) dan (5) ni ayirsak:

Buni inglis fizigi va matematigi D. Grinning (1793-1841) nomi bilan Grin formulasi deb ataladi.
Biz D sohani to’g’ri deb faraz etgan edik. Lekin bu formula yuzaga tegishli masaladagi kabi (1.2-paragrafga qarang) to’ri sohalarga bo’lish mumkin bo’lgan istalgan soha uchun ham o’rinli ekanligini ko’rsatish mumkin.

Xulosa
Egri chiziqli integrallar deb nomlanib bu to’rt qismdan iborat. Bular: Egri chiziqli integral haqida qisqacha ma’lumot va egri chiziqli integralning xossalari va formulalari hamda chizma keltirib o’tilgan. Ikkinchi paragrifda: Egri chiziqli integralni hisoblash haqida qisqacha ma’lumot berib o’tdim. Bu paragrafda ham qiziqarli teorema formula va chizmalar hamda misollar bilan berishga harakat qildim. Egri chiziq bilan chegaralangan sohaning yuzi egri chiziqli integral orqali ifodalash keltirib o’tilgan bo’lib, bu paragrafni ham qiziqli formula va chizma hamda misollar bilan berishga harakat qildim. Grin formulasi berdim, tushuntirib o’tishga harakat qildim hamda bu formulaning isbotini keltidim. Bu paragrafda men yana Egri chiziqli integrallarning integrallash yo’liga bog’liq bo’lmaslik sharti ni ham isboti bilan keltirib o’tdim.