Mavzu: Ellips urinmasining xossalari

4. GIPERBOLA KANONIK TENGLAMASI
Ta'rif-4. Ikkinchi tartibli chiziq tenglamasini birorta Oxy Dekart koordinata sistemasida
(4)
ko'rinishida ifodalash mumkin bo'lsa, bu chiziq giperbola deb ataladi. Bu erda koeffisientlar munosabatni qanoatlantiradi.
Giperbola tenglamasini tekshirish natijasida quyidagilarni olamiz:
1) x, y o'zgaruvchilar tengsizliklarni qanoatlantiradi.
Abssissa o'qidagi F₁ (- c, 0) , F₂(c, 0) nuqtalar giperbolaning fokuslari, tenglamalar bilan aniqlanuvchi to'g'ri chiziqlar giperbolaning direktrisalari deyiladi.Bu erda bo'lib, e soni giperbolaning ekssentrisiteti deyiladi.
2) Tenglamada x, y o'zgaruvchilarning faqat ikkinchi darajalari
qatnashganligi uchun giperbola koordinata o'qlariga nisbatan simmetrik joylashgandir. Bundan tashqari koordinata boshi giperbolaning simmetriya markazidir.

3-chizma
Giperbola xossalari :
1. Giperbolaning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo'lgan masofalar ayirmasining moduli o'zgarmas va 2a ga tengdir.
2. Giperbolaning ixtiyoriy nuqtasidan uning fokuslarigacha bo'lgan masofalarning mos direktrisalargacha bo'lgan masofalarga nisbati o'zgarmas va e soniga tengdir.
Bu xossa bevosita tenglikni tekshirish yordamida isbotlanadi.
Giperbolaning M(x, y) nuqtasidan fokuslargacha bo'lgan masofalar uchun

tengliklar o'rinlidir.Bu erda ildiz chiqarish amalini bajarsak agar x > ° bo'lsa
r₁ = a + ex, r₂ =-a + ex
agar x < ° bo'lsa
r₁ =-a - ex, r₂ = a – ex
tengliklarni hosil qilamiz.Natijada agar x > ° bo'lsa r₁ - r₂ = 2a , agar x < ° bo'lsa tenglik o'rinli bo'ladi.
Demak ixtiyoriy x uchun

tenglik o'rinli bo'ladi.
3.Tekislikda ikkita nukta berilgan bo'lsa, bu nuqtalargacha bo'lgan masofalari ayirmasining moduli o'zgarmas songa teng bo'ladigan nuqtalarning geometrik o'rni giperbola bo'ladi.
Tekislikda F_YF₂ nuqtalar berilgan. Biz tekislikning nuqtasidan bu nuqtalargacha bo'lgan masofalarni mos ravishda ko'rinishda belgilab

tenglikni qanoatlantiruvchi nuqtalar to'plami giperbola ekanligini isbotlaymiz. Berilgan nuqtalar orasidagi masofani 2c bilan belgilaymiz va tekislikda dekart koordinatalar sistemasini quyidagicha kiritamiz. Berilgan F₁ F₂nuqtalardan o'tuvchi to'g'ri chiziqni abssissa o'qi sifatida olamiz, unda musbat yo'nalish F₁ nuqtadanF₂ nuqtaga qarab yo'nalgan. Koordinata boshini F₁ F₂ nuqtalarning o'rtasiga joylashtirib, ordinata o'qi sifatida abssissa o'qiga perpendikulyar ixtiyoriy o'qni olamiz. Masofalar uchun

ifodalarni yuqoridagi tenglikga qo'yib

tenglikni hosil qilamiz. Bu tenglikni kvadratga oshirib va zaruriy algebraic almashtirishlarni bajarib

munosabatni olamiz. Bu yerda b² = c² - a² belgilash kiritilgan.
4.Bizga l to'g'ri chiziq va unga tegishli bo'lmagan nuqta F berilgan bo'lsa, tekislikda berilgan nuqtagacha bo'lgan masofasining berilgan to'g'ri chiziqqacha
bo'lgan masofasiga nisbati o'zgarmas birdan katta e soniga teng bo'lgan nuqtalarning geometrik o'rni giperbola bo'ladi.
Bu xossani isbotlash o'quvchilar uchun topshiriq sifatida havola etamiz. Biz yuqorida e < 1 bo'lganda ellips hosil bo'lishini ko'rsatgan edik. Bu yerda p soni ellipsdagi kabi, giperbolaning katta va kichik yarim o'qlari

tengliklar bilan aniqlanadi. Bu yerda c soni c = ea tenglik bilan aniqlanadi.