Mavzu. Funksiyaning limiti. 10. Тўпламнинг лимит нуқтаси

3⁰. Функция лимити таърифларининг эквивалентлиги.
3-теорема. Функция лимитининг Коши ҳамда Гейне таърифлари эквивалент таърифлардир.
◄Коши таърифига кўра сони функциянинг нуқтадаги лимити бўлсин:

Унда

бўлганда
(1)
бўлади. нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси. Унда 2-теоремага кўра кетма-кетлик топиладики, да бўлади. Кетма-кетлик лимити таърифига биноан
(2)
бўлади. (1) ва (2) муносабатлардан учун

бўлиши келиб чиқади. Бу эса сонини Гейне таърифи бўйича функциянинг нуқтадаги лимити эканини билдиради.
Энди сони Гейне таърифи бўйича функциянинг нуқтадаги лимити бўлсин.
Тескарисини фараз қиламиз, яъни функциянинг нуқтадаги лимити Гейне таърифи бўйича га тенг бўлса ҳам, Коши таърифи бўйича лимити бўлмасин. Унда бирор учун ихтиёрий сон олинганда ҳам ни қаноатлантирувчи бирор да

бўлади.
Нолга интилувчи мусбат сонлар кетма-кетлиги { } ни олайлик:


да .
У ҳолда
(3)
бўлади. Аммо , да , демак, Гейне таърифига асосан

бўлади. Бу (3) га зиддир. Демак, сони Коши таърифи бўйича ҳам, функциянинг нуқтадаги лимити бўлади. ►
4⁰. Функциянинг ўнг ва чап лимитлари. Айтайлик, функция тўпламда берилган, нуқта нинг чап лимит нуқтаси бўлиб,

бўлсин.
7-таъриф. Агар

бўлса, сон функциянинг нуқтадаги чап лимити дейилади ва

каби белгиланади.
Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган, нуқта нинг ўнг лимит нуқтаси бўлиб,

бўлсин.