Mavzu. Funksiyaning limiti. 10. Тўпламнинг лимит нуқтаси

MAVZU. FUNKSIYANING LIMITI.
1⁰. Тўпламнинг лимит нуқтаси. Айтайлик, бирор тўплам ва нуқта берилган бўлсин.
1-таъриф. Агар нуқтанинг ихтиёрий

атрофида тўпламнинг нуқтадан фарқли камида битта нуқтаси бўлса, яъни

бўлса, нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси дейилади.
Мисоллар. 1. тўпламнинг ҳар бир нуқтаси шу тўпламнинг лимит нуқтаси бўлади.
2. тўпламнинг ҳар бир нуқтаси ва нуқталар шу тўпламнинг лимит нуқталари бўлади.
3. тўпламнинг лимит нуқтаси бўлади.

4. 
   тўплам лимит нуқтага эга эмас.
   

2-таъриф. Агар нуқтанинг ихтиёрий

ўнг атрофида (чап атрофида) тўпламнинг камида битта нуқтаси бўлса, нуқта тўпламнинг ўнг (чап) лимит нуқтаси дейилади.
3-таъриф. Агар ихтиёрий учун

тўпламда тўпламнинг камида битта нуқтаси бўлса, тўпламнинг лимит «нуқта»си дейилади.
Агар ихтиёрий учун

тўпламда тўпламнинг камида битта нуқтаси бўлса, тўпламнинг лимит «нуқта»си дейилади.
Келтирилган таъриф ва мисоллардан кўринадики, тўпламнинг лимит нуқтаси шу тўпламга тегишли бўлиши ҳам, бўлмаслиги ҳам мумкин экан.
1-теорема. Агар нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси бўлса, у ҳолда нуқтанинг ҳар қандай

атрофида тўпламнинг чексиз кўп нуқталари бўлади.
◄Айтайлик, нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси бўлсин. Теорема тасдиғининг тескарисини фараз қилайлик: нуқтанинг бирор атрофида тўпламнинг чекли сондаги нуқталаригина бўлсин. У ҳолда

деб олинса, нуқтанинг атрофида тўпламнинг дан фарқли битта ҳам нуқтаси бўлмайди. Бу эса нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси бўлишига зиддир. ►
2-теорема. Агар нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси бўлса, у ҳолда шундай сонлар кетма-кетлиги топиладики,
1) да ;
2) да
бўлади.
◄Айтайлик, нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси бўлсин. Унда 1-таърифга биноан

бўлади. Жумладан,
учун ,
учун
учун

учун

бўлади.
Натижада қаралаётган теореманинг 1) шартини қаноатлантирувчи кетма-кетлик ҳосил бўлиб, унинг учун да тенгсизлик ўринли бўлади. Кейинги муносабатдан эса да  келиб чиқади. ►
Шуни таъкидлаш лозимки, 2-теореманинг шартларини қаноатлантирувчи кетма-кетликлар кўплаб топилади.