Mavzu. Funksiyaning limiti. 10. Тўпламнинг лимит нуқтаси

2⁰. Функция лимити таърифлари. Фараз қилайлик, функция тўпламда берилган бўлиб, нуқта тўпламнинг лимит нуқтаси бўлсин. нуқтага интилувчи ихтиёрий :

кетма-кетликни олиб, функция қийматларидан иборат :

кетма-кетликни ҳосил қиламиз.
3-таъриф. (Гейне). Агар да бўладиган ихтиёрий кетма-кетлик учун да бўлса, га функциянинг нуқтадаги лимити дейилади ва да ёки

каби белгиланади.
Эслатма. Агар да
ва
бўладиган турли кетма-кетликлар учун да , бўлиб, бўлса функция да лимитга эга эмас дейилади.
1-мисол. Ушбу

функциянинг нуқтадаги лимити топилсин.
◄ Қуйидаги :

кетма-кетликни олайлик. Унда

бўлиб, да бўлади. Демак,
►
2-мисол. Ушбу

функциянинг даги лимити мавжуд бўлмаслиги кўрсатилсин.
◄ Равшанки, да

бўлади.
Бу кетма-кетликлар учун

бўлиб, да

бўлади. Демак, берилган функция нуқтада лимитга эга эмас. ►
4-таъриф. (Коши). Агар сон олинганда ҳам шундай топилсаки, учун

тенгсизлик бажарилса, сони функциянинг нуқтадаги лимити дейилади:
.
Бу таърифни қисқача қуйидагича ҳам айтиш мумкин:
, , :
бўлса, .
3-мисол. бўлсин. Бу функция учун

бўлади.
4-мисол. Ушбу функциянинг нуқтадаги лимити 2 га тенг экани кўрсатилсин.
◄ сонига кўра деб олсак, у ҳолда тенгсизликни қаноатлантирувчи ихтиёрий да

бўлади. Демак, ►