Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi

Cheksiz kichik funksiyalarni taqqoslash

(x) va  (x) funksiya xa (yoki x) da cheksiz kichik funksiyalar bo’lsin.

Bu funksiyalarning yig’indisi, ayirmasi va ko’paytmasi ham cheksiz kichik funksiya bo’lishini ko’rdik. Ularning nisbati, ya‘ni bo’linmasi haqida gapirilmagan edi. Ikkita cheksiz kichik funksiyalarni ularning nisbatlarini limitiga qarab taqqoslanadi. 1-ta„rif. Agar lim^  0 (yoki lim ^) bo’lsa,  funksiyafunksiyaga nisbatan

 

yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deyiladi.

Masalan x  0 da  sin² x funksiya  x funksiyaga nisbatan yuqori tartibli cheksiz

² x  0 , lim x  0 va lim sin² x  lim sin x lim sin x 10  0. kichik funksiya, chunki limsin

x0 x0 x0 x x0 x x0

2-ta„rif. Agar ^lim  A  0 bo’lsa,  va  funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik



funksiyalar deyiladi.

Masalan x  0 da  sin3x va  x funksiyalar bir xil tartibli cheksiz kichik

sin3x funksiyalardir, chunki limsin3x  0 , lim x  0 va lim  3  0.

x0 x0 x0 x

3-ta„rif. Agar lim^ 1 bo’lsa,  va  cheksiz kichik funksiyalar ekvivalent deb ataladi



va ~ yoki   kabi yoziladi.

sin x tg x

Masalan, x  0 da sinx~x, chunki lim 1 va x  0 da tgx~x, chunki lim 1.

x0 x x0 x

Amaliyotda qo’yidagi teoremadan ko’p foydalaniladi. Teorema. Agar ~₁, ~₁ bo’lsa, ^lim  ^lim1 tenglik to’g’ridir.

 ₁

Haqiqatan lim^ _ lim ^{1 1}  lim ^lim^1 lim^1 1lim^1 1  lim^1.

 1 1  1 1  1 1 sin5x 5x

17-misol. lim  lim  5.

x0 x x0 x

tg5x 5x 5

18-misol. lim  lim  .

x0 sin7x x0 7x 7

5. Funksiyaning uzluksizligi

Argument va funksiyaning orttirmalari y  f (x) funksiya a; b intervalda aniqlangan bo’lsin. Bu intervaldan ixtiyoriy x₀ nuqtani

olamiz, unga funksiyaning y₀  f (x₀ ) qiymati mos keladi (90-chizma).

a; b intervaldan olingan argumentning boshqa х qiymatiga funksiyaning y  f (x) qiymati mos keladi. x  x₀ ayirma х argumentning x₀ nuqtadagi orttirmasi deyiladi va x orqali belgilanadi.

f (x)  f (x₀ ) ayirma f (x) funksiyaning argument orttirmasi x ga mos orttirmasi deyiladi va y

orqali belgilanadi. Shunday qilib, x = x  x₀ , y = f (x)  f (x₀ ). Bundan x  x₀  x,

y = f (x₀  x)  f (x₀ ). 90-chizmada a; b intervalning hech bir nuqtasida grafigi uzilmaydigan funksiya tasvirlangan. Undan ko’rinib turibdiki argumentning kichik x orttirmasiga funksiyaning ham kichik y orttirmasi mos keladi. Boshqacha aytganda argument х ning bir-biriga yaqin qiymatlariga funksiyaning ham bir-biriga yaqin qiymatlari mos keladi. Bu qoida har qanday

1

funksiya uchun ham to’g’ri kelavermaydi. Masalan, y  funksiyani qaraylik. х ning bir-biriga x

ancha yaqin x₁  10^6 va x₂ 10⁶ qiymatlariga funksiyani bir-biridan katta farq qiladigan

y₁  10⁶ va y₂ 10⁶ qiymatlari mos keladi. Boshqacha aytganda argumentning juda kichik

x  x₂  x₁  210^6 orttirmasiga funksiyaning ancha katta y  y₂  y₁  210⁶

1 orttirmasi mos keladi. Agar biz y  funksiyani x

grafigini (91-chizma) kuzatsak grafikning

uzilishga ega (u ikki bo’lakdan iborat) ekanligini va uzilish х ning х=0 qiymatida sodir

90-chizma.

bo’lishini ko’ramiz. Shuning uchun ham argumentning x₀ =0 nuqtaga yaqin nuqtalardagi kichik orttirmasiga funksiyaning kichik orttirmasi mos kelmaydi. Bu kabi hollar barcha funksiyalar sinfini ikkiga, ya‘ni grafigi uzilmaydigan va grafigi bir nechta qismlardan iborat funksiyalar sinfiga bo’lib o’rganishni taqozo etadi.

Funksiyaning nuqtada va intervalda uzluksizligi y  f (x) funksiya x₀ nuqtada va uning biror atrofida aniqlangan bo’lsin.

1-ta„rif. lim f (x)  f (x₀) , (18.1)

xx₀

ya‘ni funksiyaning x₀ nuqtadagi limiti uning shu nuqtadagi qiymatiga teng bo’lsa, y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.

Bu ta‘rifga teng kuchli yana bir ta‘rifni keltiramiz.

91-chizma.

2-ta„rif. Istalgan  0 son uchun shunday  0 son mavjud bo’lsaki, x x₀  shartni qanoatlantiradigan istalgan х uchun f (x) f (x₀)  tengsizlik bajarilsa, y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi.

3-ta„rif. lim y  0 (18.2)

x0

bo’lsa, y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz deb ataladi. 90-chizmada tasvirlangan y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz, chunki (18.2) shart bajariladi.

92-chizmada tasvirlangan y  f (x) funksiya x₀ nuqtada uzluksiz emas, chunki lim y  0. x0

92-chizma.

1-misol. y  x² funksiyani ixtiyoriy x₀ nuqtada uzluksizligini ko’rsating. Yechish. Bu funksiya butun sonlar o’qida aniqlangan. y ni tuzamiz: f (x)  x² ; f (x₀)  x₀²;

f (x₀  x)  (x₀  x)² ;

y = f (x₀  x)  f (x₀ )  (x₀  x)²  x₀²  x₀²  2x₀x  x²  x₀²  2x₀x  x² .

Demak, lim y  lim2x₀xx²  0 va y  x² funksiyani ixtiyoriy x₀

x0 x0

nuqtada uzluksiz.

Shunday qilib, y  x² funksiya aniqlanish sohasining har bir nuqtasida uzluksiz ekan.

2-misol. y  sin x funksiyani ixtiyoriy x₀ nuqtada uzluksizligini ko’rsating.