Mavzu: Funksiyaning limiti va uzluksizligi
Download 263.6 Kb.
|
funksiyaning limiti va uzluksizligi
- Bu sahifa navigatsiya:
- 18.1-teorema.
- Teorema.
- 5-misol.
- 6-misol.
Yechish. f (x) sin xy f (x0 x) f (x0) sin(x0 x) sin x0 2sin x0 x x0 cos x0 x x0 2 2
2sin x cosx0 x , 2 2
lim y lim 2sin xcosx0 x 2 lim sin x lim cosx0 x 0, x0 x0 2 2 x0 2 x0 2 chunki lim sin x 0. x0 2 Har bir elementar funksiya uchun shu tariqa mulohaza yuritib quyidagi teoremaning to’g’riligiga iqror bo’lamiz. 18.1-teorema. Asosiy elementar funksiyalar o’zlari aniqlangan barcha nuqtalarda uzluksizdir. Bir tomonlama limit tushunchasidan foydalanib uzluksizlikni quyidagicha ta‘riflash mumkin. 4-ta„rif. Funksiyaning x0 nuqtadagi chap va o’ng tomonlama limitlari mavjud va o’zaro teng bo’lsa, y f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz deb ataladi. Shunday qilib f (x) funksiya x0 nuqtada uzluksiz bo’lishi uchun u shu nuqtada aniqlangan va f (x0 0) f (x0 0) f (x0 ) shart bajarilishi lozim ekan. Yana 1-ta‘rifga qaytib uni lim f (x) f (lim x) ko’rinishda yozamiz. Bundan ko’rinib
turibdiki x0 nuqtada funksiya uzluksiz bo’lsa funksiyaning shu nuqtadagi limitini topishda limit ishorasini funksiya belgidan ichkariga kiritish mumkin ekan. 3-misol. lim n(1 x) lim 1 n(1 x) limn(1 x)1x nlim(1 x)1x ne 1. x0 x x0 x x0 x0 Bu yerda nх funksiyani х=е nuqtada uzluksizligidan foydalanib limitni funksiya ishorasi n ning ichkarisiga kiritdik. 5-ta„rif. a; b intervalning barcha nuqtalarida uzluksiz f (x) funksiya shu intervalda uzluksiz deb ataladi. Agar funksiya x0 nuqtada aniqlangan bo’lib lim f (x) f (x0) bo’lsa y f (x) funksiya xx00 х= x0 nuqtada o‟ngdan uzluksiz deyiladi. Agar funksiya х= x0 nuqtada aniqlangan bo’lib lim f (x) f (x0) bo’lsa y f (x) xx00 funksiya х= x0 nuqtada chapdan uzluksiz deyiladi. 6-ta„rif. y f (x) funksiya a; b intervalda uzluksiz bo’lib х=а nuqtada o’ngdan va х=b nuqtada chapdan uzluksiz bo’lsa, u a; b kesmada uzluksiz deb ataladi. 5-va 6-ta’riflarga hamda 18.1 teoremaga asoslanib y ax , y sin x, y cos x funksiyalar butun sonlar o’qida, y oga x funksiya 0; intervalda, y x funksiya 0; intervalda, 1 y funksiya ;00; intervalda uzluksiz ekanligini ta‘kidlab o’tamiz.
Shuningdek ko’phad butun sonlar o’qida, kasr-ratsional funksiya x ning kasr maxrajini nolga aylantirmaydigan barcha qiymatlarida uzluksiz ekanini eslatib o’tamiz. Teorema. Agar f(x) va g(x) funktsiyalar x0 nuqtada uzluksiz bo’lsa, u holda ularning f (x) algebraik yig’indisi, ko’paytmasi va gx0 0 bo’lganda bo’linmasi ham shu x0 nuqtada g(x) uzluksiz bo’ladi. Bu teoremaning isboti funksiya limitining xossalariga asoslangan. Endi murakkab funksiyaning uzluksizligiga oid teorema bilan tanishamiz. Nuqtada uzluksiz funksiya xossalarini ifodalovchi teorema bilan tanishamiz. Teorema. Agar u x funksiya x0 nuqtada uzluksiz, y f (u) funksiya u0 x0 nuqtada uzluksiz funksiya bo’lsa, u holda y fx murakkab funksiya ham x0 nuqtada uzluksiz bo’ladi. Isboti. lim f (x) f (x0) ekanligini ko’rsatamiz. u x funksiyaning x0 nuqtada xx0 uzluksizligidan lim(x) (x0) u0 ga ega bo’lamiz, ya‘ni x x0 да u u0 . f (u) xx0 funksiyaning shu nuqtada uzluksizligini hisobga olsak lim f (x) lim f u f u0 f (x0).
Shunday qilib ikkita uzluksiz f (u) va x funksiyalardan tashkil topgan y f(x) funksiya ham uzluksiz bo’lar ekan. Masalan, y n4 x2 murakkab funksiya х ning 4 x2 0 tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya‘ni 2; 2 intervalda uzluksiz. Asosiy elementlar va murakkab funksiyani uzluksizligi haqidagi teoremalarga tayanib elementar funksiyaning uzluksizligi haqidagi qo’yidagi teoremaga ega bo’lamiz.
Yechish. 4s xi murakkab funksiya x nuqtada uzluksiz bo’lgani uchun 2 sin lim 4sin x=4 2 41 4 bo’ladi.
2
5-misol. lim topilsin. x0 x Yechish. Bu yerda ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. ax 1 t almashtirish olamiz. U holda ax 1t , x oga 1t bo’lib x 0 da t 0 va ax 1 t 1 1 1 limx0 x limt0 oga1t limt0 1t oga1t limt0 oga1t1t ogae ogea na bo’ladi. Xususiy holda lim ex 1 ne 1 kelib chiqadi, ya‘ni x 0 da ex 1 ~ х .
1 xp 1 6-misol. lim topilsin. x0 x Yechish. Bu yerda ko’rinishdagi aniqmaslikka egamiz. 1 xp 1 y almashtirish olamiz. U holda 1 xp 1 y, yoki buni e asosga ko’ra logarifmlasak pn(1 x) n1 y bo’ladi. x 0 da y 0. Demak, 1 xp 1 y pn1 x y n1 x y lim lim lim plim lim p11 p. x0 x x0 x x0 x n1 y x0 x y0 n1 y Shunday qilib, lim 1 xp 1=р formulaga ega bo’ldik.
Uzluksizlik tushunchasidan foydalanilsa limitni hisoblash ancha osonlashadi, ya‘ni uzluksiz funksiyaning biror nuqtadagi limitini hisoblash uning shu nuqtadagi qiymatini hisoblashga keltiriladi. Endi asosiy elementar funksiyalarning aniqlanish sohalarining chetlaridagi limitlari hamda ajoyib limitlar jadvalini keltiramiz. 1) x a nuqtada uzluksiz y f (x) funksiya uchun lim f (x) f (a)bo’ladi. xa 2) lim ex , lim ex 0. x x a 1 bo’lganda lim ax , lim ax 0 bo’ladi. x x 0 a 1 bo’lganda lim ax 0, lim ax bo’ladi. x x 0 bo’lganda lim x , 0 bo’lganda lim x 0 bo’ladi; x x lim nx , lim nx . x x0 6') a 1 bo’lganda lim ogax , lim ogax . x x0 0 a 1 bo’lganda lim ogax , lim ogax . x x0 lim tgx , lim tgx . x 0 x 0 2 2 lim arctgx , lim arctgx . x 2 x 2 sin x lim 1. x0 x x lim 1 1 e. x x ax 1 lim na . x0 x ex 1 12') lim 1. x0 x (1 x)p 1 lim p . x0 x oga1 x 1 . lim x0 x na 14') lim n1 x 1. x0 x Download 263.6 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: |
ma'muriyatiga murojaat qiling