Мавзу: Кириш. Ҳисоблаш математикасининг ривожланиш тарихидан. Сонли усуллар назарияси. Режа: Қадимги Вавилон ва Греция математикаси

1620), инглиз Бригс (1617), голландиялик А.Вланк(1628) ва бошқалар томонидан яратилган логарифмлар жадваллари Лаплас сўзи билан айтганда ”ҳисоблашларни қисқарттириб, астрономларнинг умрини узайттирди”.
Тадбиқий масалаларни сонли ечиш математиклар эътиборини доимо ўзига тортар эди. Шунинг учун ҳам ўтган замоннинг буюк математиклари ўз тадқиқотларини табиий жараёнларни ўрганиш,уларнинг моделларини тузиш ва моделларини тадқиқ этиш ишларини бирга қўшиб олиб боришган, улар бу моделларни текшириш учун махсус ҳисоблаш усулларини яратишган. Бу усулларнинг айримлари Ньютон, Эйлер, Лобачевский, Гаусс, Чебышев, Эрмит номлари билан боғлиқдир. Бу шуни кўрсатадики, ҳисоблаш усулларини яратишда ўз замонасининг буюк математиклари шуғулланишган.
Математиканинг ҳозирги замон фан ва техниканинг хилма-хил соҳаларининг тадбиқларида, одатда,шундай типик математик масалаларига дуч келинадики,уларни классик усуллар билан ечиш мумкин емас. Бундай типик математик масалаларга алгебра (тартиби катта бўлган алгебраик тенгламалар системасини ечиш, матрицаларнинг тескарисини топиш, матрицаларнинг хос сонларини топиш, алгебраик ва трансцендент тенгламалар ҳамда бундай тенгламалар системасини ечиш), математик анализ (сонли интеграллаш ва дифференциаллаш, функцияни якинлаштириш масалалари) ҳамда оддий ва хусусий ҳосилали дифференциал тенгламаларни ечиш масалалари ва бошқалар киради.
Фан ва техниканинг жадал равишда ривожланиши, атом ядросидан фойдаланиш, учувчи аппаратларни (самолет, ракета) лойиҳалаш , космик учиш динамикаси,бошқариладиган термоядро синтези муаммоси муносабати билан плазма физикасини ўрганиш ва шунга ўхшаган кўп масалаларни текшириш ва ечишни тақозо қилмоқда. Бундай масалалар ўз навбатида математиклар олдида янгидан-янги ҳисоблаш усулларини яратишни вазифа етиб қўяди. Математикадан типик математик масалаларнинг ечимларини етарлича аниқликда ҳисоблаш имконини берувчи усуллар яратишга ва шу мақсадда ҳозирги замон ҳисоблаш воситаларидан фойдаланиш йўлларини ишлаб чиқишга бағишланган соҳа ҳисоблаш математикаси дейилади. Ҳисоблаш усулларига сонли усуллар дейилади. Сонли усуллар яратишда ҳисоблаш математикасининг имкониятлари ҳисобга олиниши муҳим аҳамиятга эга. Чунки ҳозирги вақтда мураккаб масалаларни ЭҲМларсиз ечиб бўлмайди. ЭҲМлар ёрдамида масалалар ечиш эса биринчи навбатда сонли усуллар алгоритмининг турғунлигини талаб қилади. Бунинг маъноси шундан иборатки, ҳисоблашнинг дастлабки қадамларида йўл қўйилган хато, кейинги қадамларда ортмаса,у ҳолда ҳисоблаш алгоритми дастлабки хатога нисбатан турғун дейилади, аксинча нотурғун дейилади. Турғун бўлмаган алгоритмлар масалани тақрибий ечиш учин яроқсиздир.
Ҳозирги вақтда ЭҲМлар ёрдамида масалалар ечиш жараёни ҳисоблаш эксперименти деб
юритилади. У қуйидаги босқичлардан иборат:
1. Тадқиқот объекти.
2. Объектнинг математик модели.
3. Сонли усуллар (қисоблаш алгоритми).
4. Программалаштириш ва ЭХМ.
5. Ҳисоблашларни бажариш .
6. Натижаларни таҳлил килиш ва моделга тузатишлар киритиш.
Ҳисоблаш эксперименти жараёнларнинг математик моделларини тузиб, уни сонли усуллар ва ЭҲМ ёрдамида ечишни ташкил этиш технологиясига айтилади.
Янги техника ва технологиянинг кескин ўсиб бориши, математика фанининг замонавий бўлимларини халқ ҳўжалиги масалаларини ечишга янада кўпроқ қўлланила бошлагани амалий масалаларни ечишга ихтисослаштирилган бакалаврлар ва магистрларни тайёрлашга бўлган талабни борган сари орттириб бормоқда.
Ҳозирги кунда тайёрланаётган бакалаврларнинг математик маълумоти олий математика фанида ўқитилаётган анъанавий бўлимлар билан чегараланиб қолмаслиги зарур. Айниқса "Информатика ва ахборотлар технологияси" йўналиши бўйича таълим олаётган талабалардан замонавий математиканинг зарур бўлимларини билишни, биринчи галда эса ҳисоблаш математикасининг усулларини мустаҳкам эгаллашни ва улардан амалий масалаларни ечишда фойдаланишни ҳамда ечилаётган масалани дастурини яратиб, зарур сонли ечимни олишга эриша олишлари талаб этилади.
Шуни яна таъкидлаб ўтиш лозимки, замонавий ҳисоблаш техникасини унумли ишлатиш тақрибий ва сонли анализ усулларидан оқилона фойдаланишсиз мумкин эмас. Шунинг учун, ривожланган чет эл мамлакатларида ва давлатимизда ҳисоблаш математикасига бўлган қизиқиш кескин ортиб бормоқда. ЭҲМ ларнинг охирги пайтларда ривожланиб бориши сонли-тақрибий усулларнинг амалга тадбиқига кенг истиқбол яратди.
Маълумки, ҳаётда учрайдиган барча жараёнларнинг математик моделларини тузиш мумкин. Бу моделлар ўрганилаётган жараённинг асосий хусусиятларини ўзида иложи борича тўлароқ, тўкисроқ мужассам қилиши керак. Бу эса математик моделларнинг иложсиз мураккаблашувига сабаб бўлади. Бундай математик моделларни ишлатиш, улар асосида қаралаётган жараён кўрсаткичларининг хусусиятларини тасвирловчи ечим олиш ҳам ўз навбатида мураккаблашади. Демак, изланувчи олдида бир-бирига зид икки масала кўндаланг бўлади: математик моделлар етарли даражада мукаммал ва мураккаб бўлиши керак, лекин бундай моделларни ишлатиш қатор қийинчиликларни ҳам келтириб чиқаради.
Математик моделларни ташкил қилувчи алгебраик, чизиқсиз дифференциал, интеграл, интегро-дифференциал ва бошқа тенгламаларни ечиш усуллари етарли даражада такомиллашмаган. Математика курсларида келтирилаётган аниқ, аналитик усуллар фақат хусусий кўринишдаги, содда тенгламаларнинг ечимини топиш имконини беради, ҳолос. Сонли-тақрибий усуллар эса умумийроқ, анча мураккаб тенгламаларнинг ечимларини топишга имкон беради. Натижада аналитик усулда ечилмаган тенгламаларни ЭҲМ ларда сонли-тақрибий усуллар билан ечиш имконияти яратилди.