Mavzu: Kramer va Gauss usullarida yechish

n noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemalari.

n
noma’lumli n ta chiziqli tenglamalar sistemasi quyidagi ko`rinishga ega:
(3)

Bu yerda 𝑎_𝑖𝑘 sonlarga sistemaning koeffitsientlari, 𝑐_𝑖 ozod hadlar, 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛

– noma’lumlar deyiladi.
Ta’rif. Agar (3) sistemaning har bir tenglamasidagi 𝑥₁, 𝑥₂, … , 𝑥_𝑛 noma’lumlar o`rniga mos ravishda 𝛼<sub>1</sub>, 𝛼<sub>2</sub>, … , 𝛼<sub>𝑛</sub> qiymatlar qo`yilganda sistemaning barcha tenglamalari ayniyatga aylansa, 𝛼₁, 𝛼₂, … , 𝛼_𝑛 sonlar (3) sistemaning yechimi deyiladi.
S
istemaning yechimi mavjud bo`lish – bo`lmasligi quyidagi determinantga bog’liqdir:

4. 
   determinant (3) sistemaning noma’lumlari oldidagi koeffitsientlardan tuzilgan. Agar ∆≠ 0 bo`lsa, sistema yagona yechimga ega bo`ladi va bu yechim
   

formulalar yordamida topiladi.

Bunda ∆_𝑥1 determinant ∆ determinantning birinchi ustun elementlarini (3) tenglamalar sistemasining ozod hadlari bilan almashtirishdan hosil qilinadi; ∆_𝑥2 esa
∆ determinantning ikkinchi ustun elementlarini ozod hadlar bilan almashtirishdan
hosil bo`ladi; ∆<sub>𝑥3</sub> … ∆<sub>𝑥𝑛</sub> lar ham shunga o`xshash hosil qilinadi.
(3) tenglamalar sistemasini yechishning bunday usuli Kramer usuli deyiladi.
Demak, (3) sistemani yechish uchun (n+1) ta determinant tuzish va hisoblash kerak bo`ladi.

Chiziqli tenglamalar sistemasini Gauss usuli bilan yechish.

Biz yuqorida tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo`lgan chiziqli tenglamalar sistemasi bilan tanishdik va bunday sistemaning determinant noldan farqli bo`lsa, u holda sistema yagona yechimga ega bo`lishini ko`rdik.
Endi ixtiyoriy, ya’ni tenglamalar soni noma’lumlar soniga teng bo`lmagan chiziqli tenglamalar sistemasini tekshiramiz. Bunday sistema uchun yechim yagona bo`lmasligi yoki umuman yechim mavjud bo`lmasligi ham mumkin. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi birorta ham yechimga ega bo`lmasa, sistema birgalikda bo`lmagan sistema deyiladi. Agar chiziqli tenglamalar sistemasi yechimga ega bo`lsa, bunday sistema birgalikda deb hisoblanadi.
Koeffitsientlari sonlardan iborat bo`lgan tenglamalar sistemasi yechimlarini topish uchun qulay bo`lgan noma`lumlarni ketma – ket yo`qotish (chiqarish) usulini, ya’ni Gauss usulini ko`rsatamiz.
Quyidagi ixtiyoriy chiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo`lsin:

4. 
   da 𝑎₁₁ ≠ 0 deb faraz qilaylik. Dastlab birinchi tenglamadan tashqari barcha
   

tenglamalardan 𝑥₁ ni yo`qotib, (5) sistemani o`zgartiramiz. Buning uchun birinchi tenglamaning har ikkala tomonini 𝑎₁₁ ≠ 0 ga bo`lib chiqamiz. Natijada (5) sistemaga ekvivalent bo`lgan yangi sistemani hosil qilamiz:

E
ndi (6) sistemaning birinchi tenglamasini 𝑎₂₁ ga ko`paytiramiz va uni ikkinchi tenglamadan ayiramiz. So`ngra birinchi tenglamani 𝑎₃₁ ga ko`paytiramiz va uchinchi tenglamadan ayiramiz va hokazo. Natijada quyidagi, yana (5) sistemaga teng kuchli ushbu yangi sistemani hosil qilamiz:

Endi (7) sistemaning ikkinchi tenglamasini 𝑎₂₂ koeffitsientga bo`lamiz va
hosil bo`lgan sistemaning ikkinchi tenglamasini ketma – ket 𝑎₃₂, 𝑎_𝑚̀ ₂ koeffitsientlarga ko`paytirib uchinchi tenglamadan boshlab navbati bilan ayiramiz. Natijada (7) ga teng kuchli sistema hosil bo`ladi.
A
gar (5) sistema birgalikda bo`lsa, u holda natijada quyidagi

{

sistemaga (bunda p) yoki

s
istemaga ega bo`lamiz. (8) sistema pog’onali sistema, (9) sistema esa uchburchak sistema deb ataladi.
(9) sistema uchburchak bo`lgan holda so`nggi tenglamadan 𝑥<sub>𝑛</sub> ni topamiz, so`ngra 𝑥_𝑛 ning qiymatini oldingi tenglamaga qo`yib 𝑥<sub>𝑛−1</sub> ni topamiz va hokazo.
Demak, agar (5) tenglamalar sistemasi bir qator elementar almashtirishlarni
bajargandan so`ng (9) uchburchak sistemaga keltirilsa, u holda (5) sistemaning birgalikda va u yagona yechimga ega ekenligi kelib chiqadi.
Agar (5) sistema (8) pog’onali sistemaga keltirilsa, u holda (5) sistema yechimga ega bo`lmaydi yoki cheksiz ko`p yechimga ega bo`ladi.
(
8) tenglamalar sistemasini quyidagi ko`rinishda yozib olamiz:

Bu sistemadagi 𝑥_𝑝+1, … , 𝑥_𝑛 noma’lumlarga ixtiyoriy 𝛼_𝑝+1, … , 𝛼_𝑛 qiymatlar berib, uchburchak sistemani hosil qilamiz. Undan esa qolgan barcha 𝑥_𝑝, 𝑥_𝑝−1, … , 𝑥₁ noma’lumlarni ketma – ket topamiz. 𝛼_𝑝+1, … , 𝛼_𝑛 sonlar turli qiymatlarni qabul qilishligidan (5) sistema cheksiz ko`p yechimlar to`plamiga ega ekanligi kelib chiqadi.

5. 
   –
   misol. Quyidagi sistemani Gauss usul bilan yeching: