Mavzu: matritsalar va ular ustida amallar

4. λ - matritsalar. Elementar bo‘luvchilar.
Ushbu Ma’ruza yordamchi xarakterda bo‘lib, chiziqli avtonom sistemalarning turg‘unlik shartlarini aniqlash uchun kerak bo‘ladigan yordamchi tushunchalarni o‘z ichiga oladi.
Elementlari qandaydir X parametrning ko‘rinishdagi ko‘pxadlaridan
iborat bo‘lgan

kvadratik matritsani qaraylik. Bunday matritsalar X- matritsalar deyiladi.
matritsaning barcha k-tartibli minorlarining eng katta umumiy bo‘luvchisini belgilab, bosh xad oldidagi koeffitsientni birga teng qilib tanlaymiz. Osongina ko‘rsatish mumkinki ko‘pxadning bu aniqlanishidan quyidagi xulosani chiqarish mumkin: agar qandaydir k- tartibli minor o‘zgarmas songa teng bo‘lsa, u xolda bo‘ladi.
Chunki bu minor ga bo‘linishi, v _k esa
larga bo‘linishi kerak.

(1.8)
isbot bilan aniqlanuvchi ko‘pxad matritsaning invariant ko‘paytuvchisi
deyiladi. Ravshanki,

bo‘lib, o‘zgarmas ko‘paytuvchi aniqligida ning determinantiga teng, ya’ni

invariant ko‘paytuvchini ko‘paytuvchilarga ajratamiz. bu yerda
tenglamaning xar xil ildizlari.
Aniqki
Bundan tashqari, agar bo‘ladi. Chunki (1.8) ko‘pxad
ko‘pxadga bo‘linadi. ning ko‘paytuvchilari tarkibiga kiruvchi
o‘zgarmas sondan farqli bo‘lgan ikkixad matritsaning elementar
bo‘luvchilari deyiladi. Ularning umumiy sonini m bilan belgilab, ularni o‘zlarini

lar orqali belgilaymiz. Chunki sonlarning ichida o‘zaro tenglari bo‘lib , binom xar xil invariant ko‘paytuvchilar tarkibiga kirishi mumkin.
Misol:
matritsa uchun quyidagi to‘rtta birinchi tartibli minorlarni tuzish mumkin bo‘lib, ularning eng katta bo‘luvchisi
bo‘ladi.
Berilgan misoldagi matritsa uchun bitta ikkinchi tartibli minor bo‘lib, uning eng katta umumiy bo‘luvchisi

bo‘ladi. (1.8) formuladan foydalanib invariant ko‘paytuvchilarni topamiz.

Misolda qaralayotgan matritsa uchun elementar bo‘luvchilar bo‘ladi. Bu yerda ildizlar Bu ildizlar
tenglamaning xam ildizlari bo‘ladi. Ammo tenglamaning uch karrali
ildizi bo‘lib, bir elementar bo‘luvchi uchun oddiy, boshqasi uchun ikki karralidir.
matritsaning normal diogonal ko‘rinishi deb

matritsaga aytiladi. Bu yerda matritsaning invariant
ko‘paytuvchilari. Masalan, yuqorida qaralgan misoldagi matritsaning normal diogonal ko‘rinishi,

matritsadan iborat bo‘ladi.
matritsalarni elementar almashtirishlar deb quyidagi operatsiyalarga aytiladi:
a) ikkita satr yoki ikkita ustunini o‘zaro almashtirish;
b) qandaydir satri (ustuni) ning barcha elementlarini bitta noldan farqli o‘zgarmas ko‘paytivchilarga ko‘paytirish;
Bu jumlalarning to‘g‘riligining isbotini keltirmay, yuqoridagi misoldagi matritsani normal shaklga keltiramiz:

Bu yerda avval birinchi satrni ikinchisi bilan , birinchi ustunni щam ikkinchisi bilan almashtirdik. Keyin birinchi ustundan ikkinchisini ayirdik. Nixoyat oxirida birinchi satrni ga ko‘paytirib ikkinchi satrdan ayirdik