Mavzu: metrik fazo
METRIK FAZODA YAQINLASHISH TUSHUNCHASI
Download 108.07 Kb.
|
METRIK FAZOLAR
- Bu sahifa navigatsiya:
- 2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik xossalari. 1-teorema
|
2. METRIK FAZODA YAQINLASHISH TUSHUNCHASI
1. Yaqinlashuvchi ketma-ketliklar. Aytaylik (X,) metrik fazoda biror {xn} ketma-ketlik berilgan bo’lsin. 2-Ta’rif. Agar ixtiyoriy >0 son uchun shunday no() nomer topilib, barcha n>no() lar uchun (xn,x)< tengsizlik bajarilsa, u holda {xn} ketma-ketlik X fazoda x elementga yaqinlashadi deyiladi va yoki xn x orqali belgilanadi. Bu x element {xn} ketma-ketlikning limiti deyiladi. Metrik fazoda ketma-ketlik limitini quyidagicha ham aytish mumkin: Agar n da (xn ,x) 0, ya’ni (xn,x)=0 bo’lsa, u holda bu ketma-ketlik X fazoda x elementga yaqinlashadi deyiladi. Umuman olganda, metrik fazo elementlari nafaqat sonlardan iborat bo’lishi, balki ixtiyoriy tabiatli, qandaydir elementlardan iborat bo’lishi mumkin. Shu sababli ketma-ketlik limitining tushunchasi keng tatbiqqa ega. Masalan, xn(t)=tn ko’rinishdagi funksiyalar ketma-ketligi C1[0;1] fazoda aynan nol, ya’ni (t) 0 funksiyaga yaqinlashadi. Haqiqatdan, bu fazoda (xn,)= = = , demak n da (xn ,x) 0 bo’ladi. Bu ketma-ketlik C[0;1] fazoda (t)0 funksiyaga yaqinlashmaydi, chunki bu holda (xn,)= |tn-0|= tn=1 bo’ladi, ya’ni n da (xn ,x) 0. 2. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik xossalari. 1-teorema. Yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limitga ega. Isboti. Faraz qilaylik, {xn} ketma-ketlikning limiti ikkita, ya’ni xnx, xny va xy bo’lsin. U holda metrikaning uchburchak aksiomasiga ko’ra, 0 (x,y) (x,xn)+(xn,y) bo’ladi. Ammo, bu tengsizlikning o’ng tomoni n da 0 ga intiladi, demak, (x,y)=0, bundan x=y kelib chiqadi. 2-teorema. Ixtiyoriy (x,y) metrika o’zining argumentlari x va u elementlarning uzluksiz funksiyasidir, ya’ni agar xnx va ynu bo’lsa, u holda (xn,yn) (x,y) bo’ladi. Isboti. Ixtiyoriy to’rt element x,y,z,uX elementlar uchun |(x,y)-(z,u)| (x,z)+(y,u) (1) tengsizlik o’rinli. Metrikaning uchburchak aksiomasidan foydalanib, (x,y) (x,z)+(z,y) (x,z)+(z,u)+(u,y) (2) tengsizliklarni yozish mumkin. Bundan (x,y) - (z,u) (x,z) +(u,y) kelib chiqadi. Bu tengsizlikda x, y larni mos ravishda z, u lar bilan, z, u larni mos ravishda x, y lar bilan almashtirib, (z,u) - (x,y) (x,z) +(u,y) (3) tengsizlikka ega bo’lamiz. (2) va (3) dan (1) kelib chiqadi. Endi (1) tengsizlikda z va u larni mos ravishda xn va yn bilan almashtirilsa, |(x,y) - (xn,yn)| (x,xn) +(y,yn) tengsizlik hosil bo’ladi. Bu tengsizlikning o’ng tomoni, teorema shartiga ko’ra nolga intiladi, bundan esa (xn ,yn) (x ,y) kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi. 3-teorema. Agar {xn} ketma-ketlik x ga yaqinlashsa va xo X tayin bir element bo’lsa, u holda {(xn,xo),n=1,2,. . .} sonlar to’plami chegaralangan bo’ladi. Isboti. Umumiy hadi cn=(xn,x) bo’lgan sonli ketma-ketlikni qaraymiz. Bu {cn} ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lganligi sababli, u chegaralangan bo’ladi. Uning yuqori chegarasini K bilan belgilaymiz: cn K. Metrikaning uchburchak aksiomasiga ko’ra (xn ,x0) (xn ,x)+(x ,x0) K+(x ,x0)=K1 bo’ladi. Download 108.07 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|