Mavzu: metrik fazo

3. BA’ZI METRIK FAZOLARDA YAQINLASHISH TUSHUNCHASINING MA’NOLARI.
a) Diskret metrik fazoda ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’lishi uchun bu ketma-ketlikning hamma elementlari biror hadidan boshlab bir-biriga teng bo’lishi zarur va yetarli.
b) n–o’lchamli Yevklid fazosida {x^(k)} ketma-ketlikning x elementga yaqinlashishi uchun, x^(k) vektor koordinatalari, mos ravishda x vektor koordinatalariga yaqinlashishi zarur va yetarli.
Masalan, da (x^(k),x)= 0 (k ) bo’lsa, u holda ,i=1,2,,n bo’ladi.
v) Aytaylik C[a;b] fazoning elementlaridan iborat {x_n(t)} ketma-ketlik uchun x_n(t) x(t)C[a;b], ya’ni
(x_n,x)= | x_n(t) –x(t)| 0, n 
bo’lsin. Bundan, ixtiyoriy kichik >0 soni uchun shunday n_o natural son topiladiki, n>n_o bo’lganda
|x_n(t) –x(t)|<
bo’lishi kelib chiqadi.
Demak, t ning [a;b] dagi barcha qiymatlari uchun n>n_o bo’lganda
|x_n(t) –x(t)|<
tengsizlik o’rinli ekan. Bu esa {x_n(t)} ketma-ketlikning x(t) funksiyaga tekis yaqinlashishini bildiradi. Va aksincha, {x_n(t)} ketma-ketlik [a;b] kesmada x(t) ga tekis yaqinlashsa, u holda (x_n,x) 0 bo’ladi. Demak, S[a;b] fazoda metrika ma’nosida yaqinlashish tekis yaqinlashish tushunchasi bilan ustma-ust tushar ekan.

4. METRIK FAZOLARDA BA’ZI BIR TOPOLOGIK TUSHUNCHALAR
1. Ochiq va yopiq sharlar, nuqtaning -atrofi.
Aytaylik (X,) metrik fazo berilgan bo’lsin. Kelgusida, metrik fazo elementi yoki metrik fazo nuqtasi bir xil ma’noda ishlatiladi.
3-ta’rif. Biror x_oX nuqta va r > 0 son uchun ushbu
S(x_o,r)={ x X: (x ,x_o)X fazoda ochiq shar;
(x_o,r) ={x X: (x ,x_o) r} to’plam yopiq shar deyiladi.
Shu x_o nuqta sharning markazi; r son sharning radiusi deyiladi.
Zaruriyat tuғilganda {xX: (x,x_o)=r} to’plamni ham ishlatamiz, u x_o markazli, r radiusli cfera deyiladi.
4-ta’rif. S(x_o,) ochiq shar x_o nuqtaning -atrofi deyiladi va O_(x_o) kabi belgilanadi.
Nuqta atrofining ba’zi xossalarini o’rganamiz.
1^o. Har bir nuqta, o’zining ixtiyoriy atrofiga tegishli.
Haqiqatan, agar  > 0 bo’lsa, u holda (a,a)=0 < , shuning uchun aO_(a).
2^o. Bir nuqtaning, ixtiyoriy ikki atrofi kesishmasi ham shu nuqtaning atrofi bo’ladi.
Haqiqatan, agar < bo’lsa, u holda O_(a)O_(a)=O_(a) bo’lishi tushunarli.
3^o. Agar xO_(a) bo’lsa, u holda x nuqtaning O_(a) da yotuvchi atrofi mavjud.
Haqiqatan, aytaylik (a,x)=d bo’lsin. xO_(a) element uchun =–d>0 sonni qaraymiz. Agar, yO_(x) bo’lsa, u holda metrikaning uchburchak aksiomasiga ko’ra
(a,y) (a,x)+(x,y)bo’ladi. Demak, yO_(a). Bundan O_(x)O_(a) kelib chiqadi.
4^o. Bir-biridan farqli ikki nuqtaning, o’zaro kesishmaydigan atroflari mavjud.
Haqiqatan, aytaylik, a,bX, a  b va (a,b)=r bo’lsin. =^r/₃ bo’lganda O_(a) va O_(b) atroflarning kesishmasligini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, bu atroflar umumiy x nuqtaga ega bo’lsin. U holda
(a,x)<, (b,x)< va (a,b) (a,x)+ (b,x)<2=^2r/₃ Bu esa shartga zid.