Mavzu: metrik fazo

2. Metrik fazoga misollar. 1. Haqiqiy sonlar: X=R. Masalan, bu to’plamda x va u sonlar orasidagi masofa
(x,y)=|y-x|
kabi kiritiladi.
2) n–o’lchamli Yevklid fazosi: X=Rⁿ da x=(x₁,x₂,,x_n) va y=(y₁,y₂,,y_n) nuqtalar orasidagi masofa (x,y)= formula yordamida hisoblanadi. Bunday metrika kiritilgan Rⁿ fazoni, qisqacha, orqali belgilanadi.
Xususan, n=2 bo’lganda bu metrik fazo Yevklid tekisligi deyiladi.
3) Agar n–o’lchamli Rⁿ fazoning x=(x₁,x₂,,x_n) va y=(y₁,y₂,,y_n) nuqtalari orasidagi masofa (x,y)= kabi aniqlansa, u holda Rⁿ metrik fazo bo’ladi (isbotlang) va orqali belgilanadi.
4) Agar n–o’lchamli Rⁿ fazoning x=(x₁,x₂,,x_n) va y=(y₁,y₂,,y_n) nuqtalari orasidagi masofa (x,y)= |y_k–x_k| kabi aniqlansa, u holda Rⁿ metrik fazo bo’ladi (isbotlang) va orqali belgilanadi.

5) X= ₂={x=(x₁,x₂,...,x_n,...), x_i R va }.

Bu to’plamda metrika (x,y)= kabi aniqlanadi.
6) X=C[a;b] to’plam, [a;b] kesmada berilgan uzluksiz funksiyalar to’plamida, metrikani quyidagicha kiritamiz: (x,y)= |y(t)-x(t)|. Buning metrika bo’lishini tekshirish qiyin emas.
Metrika aksiomalaridan birinchi va ikkinchisining o’rinliligi ravshan. Uchburchak aksiomasini tekshiramiz.
Ixtiyoriy t[a;b] nuqta va x(t), y(t), z(t) funksiyalar uchun ushbu munosabat bajariladi:
|x(t)- y(t)| = |(x(t)- z(t)) + (z(t)- y(t))|  |x(t)- z(t)|+|z(t)- y(t)|.
Bu tengsizlikdan
|x(t)- y(t)|  |x(t)- z(t)| + |z(t)- y(t)|
bo’lishi kelib chiqadi. Oxirgi tengsizlik
(x,y)  (x,z)+(z,y)
ekanini bildiradi.
7) S[a;b] da metrikani quyidagicha ham kiritish mumkin: (x,y)= . Bu metrik fazo C₁[a;b] orqali belgilanadi.
8) S[a;b] da (x,y)= funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradi. Bu metrik fazo C₂[a;b] orqali belgilanadi.
9) Aytaylik X, bo’sh bo’lmagan ixtiyoriy bir to’plam bo’lsin. Undan olingan x, uX uchun
(x,y)=
shart bilan funksiya aniqlaymiz. Bu funksiya metrika aksiomalarini qanoatlantiradi.
Bunday aniqlangan metrika diskret metrika, metrik fazo esa diskret metrik fazo deyiladi.
Metrik fazolarga misollar ko’pligi quyidagidan kelib chiqadi.
Aytaylik (X,) metrik fazo va M  X ning ixtiyoriy qism to’plami bo’lsin. U holda (x,u) funksiya M to’plamda ham metrika bo’ladi va (M,) ni metrik fazo deb qarash mumkin. Bu metrik fazo (X,) metrik fazoning qism fazosi deyiladi.