Mavzu: metrik fazo

4. To’plamning yopilmasi.
8-ta’rif. M to’plamning barcha urinish nuqtalari to’plami bilan belgilanib, M ning yopilmasi deyiladi.
5-teorema. Ixtiyoriy M, M₁ va M₂ to’plamlar uchun quyidagi munosabatlar o’rinli:
1) ;
2) ;
3) Agar M₁M₂ bo’lsa, u holda bo’ladi;
4) .
Isboti. Birinchi xossa to’plamning urinish nuqtasi ta’rifidan kelib chiqadi.
Ikkinchi xossani isbotlaymiz. Birinchi xossaga asosan . Shuning uchun munosabatni isbotlash yetarli.
Aytaylik x bo’lsin. U holda bu nuqtaning ixtiyoriy  atrofida ga tegishli x₁ nuqta topiladi. Endi, x₁ nuqtaning radiusi ₁=-(x,x₁)>0 bo’lgan atrofini olamiz. Agar z bo’lsa, u holda
(z,x) (z,x₁)+ (x₁,x)<,
ya’ni zO_(x) bo’ladi. Shunday qilib, O_(x). Ammo x₁ , demak, x₁ ning ₁-atrofida M ga tegishli x₂ nuqta mavjud. Shuning uchun x₂ O_(x). Lekin O_(x) shar x nuqtaning ixtiyoriy atrofi bo’lgani uchun x .
Uchinchi xossa o’z-o’zidan ravshan.
To’rtinchi xossani isbotlaymiz. Aytaylik x bo’lsin, u holda x nuqtaning ixtiyoriy O_(x) atrofida M₁M₂ ga tegishli x₁ element mavjud. Agar x va x bo’lsa, u holda x ning shunday va atroflari mavjudki, bu atroflar mos ravishda M₁ va M₂ to’plamlar bilan kesishmaydi. Endi =min(₁,₂) deb olsak, u holda x nuqtaning O_(x) atrofi M₁M₂ to’plam bilan kesishmaydi. Bu esa x ning tanlanishiga zid. Demak, x nuqta yoki to’plamlardan kamida bittasiga tegishli, ya’ni
  .
Teskari munosabatning o’rinligi M₁M₁M₂ va M₂M₁M₂ munosabatlardan hamda uchinchi xossadan kelib chiqadi.