Mavzu: metrik fazo

2. Chegaralangan to’plam.
5-ta’rif. Agar (X,) metrik fazodagi M to’plam biror shar ichida joylashgan bo’lsa, u holda bu to’plam chegaralangan to’plam deyiladi.
Bu ta’rifning quyidagi ta’rifga ekvivalent ekanligini tekshirish qiyin emas.
Agar (X,) metrik fazodagi M to’plamga tegishli barcha x va u nuqtalar uchun, (x,u)Agar bir to’plamda ikki xil metrika berilgan bo’lsa, u holda qaralayotgan M to’plam bir metrikaga nisbatan chegaralangan, ikkinchi bir metrikaga nisbatan chegaralanmagan bo’lishi mumkin.
Masalan, N natural sonlar to’plami (n,m)=|n–m| metrikaga nisbatan chegaralanmagan, lekin
₁(n,m)=
metrikaga nisbatan chegaralangan to’plamdir. Chunki, 1 dan farqli barcha n larda ₁(1,n)<2, ya’ni bu metrikaga nisbatan barcha natural sonlar to’plami, markazi 1 nuqtada radiusi 2 ga teng ochiq shar ichiga joylashgan bo’ladi.
3. To’plamning urinish, limit nuqtalari.
Aytaylik (X,) metrik fazoda biror M to’plam berilgan bo’lsin.
6-ta’rif. Agar x_oX nuqtaning ixtiyoriy atrofida M to’plamning x_o dan farqli elementi mavjud bo’lsa, u holda x_o nuqta M to’plamning limit nuqtasi deyiladi.
Misollar. 1. Ixtiyoriy (X,) metrik fazodagi S(x_o,r) ochiq sharning limit nuqtalari to’plami (x_o,r) yopiq shardan iborat bo’ladi.
2. Sonlar o’qidagi ba’zi to’plamlarni qaraymiz:
a) Ye₁=N natural sonlar to’plami bo’lsin. Bu to’plamning birorta ham limit nuqtasi mavjud emas.
b) E₂={¹/_n : n=1,2,} bo’lsin. Bu to’plamning birgina limit nuqtasi 0 bor va 0E₂.
c) E₃=(0;1). Bu to’plamning limit nuqtalari [0;1] kesmaning barcha nuqtalaridan iborat.
d) E₄=(0;1)Q bo’lsin. Bu to’plamning limit nuqtalari ham [0;1] kesmaning barcha nuqtalaridan iborat.
7-ta’rif. Agar x_oX nuqtaning ixtiyoriy atrofida M to’plamning kamida bitta elementi mavjud bo’lsa, u holda x_o nuqta M ning urinish nuqtasi deyiladi.
Limit nuqta urinish nuqtasi bo’ladi, lekin aksinchasi har doim ham o’rinli emas. Masalan, chekli to’plamning har bir nuqtasi urinish nuqtasi bo’ladi, ammo limit nuqta bo’la olmaydi. Yuqoridagi Ye₁ va Ye₂ to’plamlarning barcha nuqtalari urinish nuqtalari bo’ladi.