Mavzu: Shartli ehtimollik. Hodisalarning bog’liqsizligi

3-misol. 3 ta tuz, 4 ta qirol va 2 ta valetdan iborat bo‘lgan qartalar dastasidan ikki o‘yinchi galma-gal tavakkaliga (bittadan) qarta olishadi. Qaysi o‘yinchi birinchi bo‘lib dastadan tuz olsa, shu o‘yinchi o‘yinni yutgan hisoblanadi. Agar valet chiqsa о‘yin durang bo‘ladi. Olingan qartalar dastaga qaytib qo‘yilmaydi. Birinchi o‘yinchining yutish ehtimoli topilsin.

Yechish. Ehtimoli izlanayotgan hodisani orqali belgilaymiz. U holda hodisa ko‘rinishga ega. Bu yerda “t”- birinchi o‘yinchiga tuz chiqqani, “qqt”- birinchi va ikkinchi o‘yinchiga qirol chiqqandan so‘ng birinchi o‘yinchiga tuz chiqqanini va nihoyat “qqqqt”- birinchi va ikkinchi o‘yinchilarga ikkitadan qirol chiqib, so‘ng birinchi o‘yinchiga tuz chiqqanini bildiradi. Klassik ta’rifga va shartli ehtimolning ta’rifiga ko‘ra quyidagini topamiz:

Topilgan ehtimollarni yuqorida topilgan (1.14) formulaga qo‘ysak == tenglik hosil bo‘ladi. Demak,

1- teorema. Agar -fiksirlangan hodisa bo‘lsa, u holda shartli ehtimol, hodisaning funksiyasi sifatida yangi ehtimollar fazosini aniqlaydi. Isboti. Teoremani isbotlash uchun ning ) o‘lchovli fazoda aniqlangan ehtimol o‘lchovi ekanligiga ishonch hosil qilishimiz, ya’ni uchun kl, K2, К3 aksiomalar o‘rinli ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatdan ham, (1.12) formuladan va munosabat o‘rinli ekanligi kelib chiqadi. Agar birgalikda bo‘lmagan hodisalar bo‘lsa , u holda va hodisalar ham birgalikda emas. Demak, ya’ni chekli additiv.

hodisalar ketma-ketligi va (ya’ni ) shartlarni qanoatlantirsin. U holda {} ketma-ketlik uchun ham va munosabatlar o‘rinli bo‘ladi va ning nolda uzluksizligiga ko‘ra .

Hodisalarning bog‘liqsizligi. Hodisalarning bog‘liqsizligi ehtimollar nazariyasining asosiy tushunchalaridan biri hisoblanadi. Bu xossa ehtimollar nazariyasini o‘lchovli fazolarning umumiy nazariyasidan ajratib turadigan o‘ziga xos xususiyatini aniqlab beradi. Agar P(A| B) = P(A) tenglik bajarilsa, u holda A hodisa B hodisaga bog‘liq emas deyish tabiiydir. Agar P(A) > 0 bo‘lsa, u holda P(B|A) shartli ehtimol mavjud va ko‘paytirish teoremasiga ko‘ra P(B/A)=P(AB)/P(B)=P(B)P(A/B)/P(A)=P(B)