Mavzu: “Shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Riman teoremasi

Qatorning yaqinlashuvchanligi. Koshi teoremasi. Faraz qilaylik,

qator berilgan bo`lsin. Ma`lumki, bu qatorning yaqinlashuvchanligi ushbu

(n=1,2,3,…..)
ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo`lishidan iborat.
Sonlar ketma-ketligining chekli limitga ega bo`lishi haqida Koshi teoremasi, ya`ni
ketma-ketlikning da chekli limitga ega bo`lishi uchun
da

tengliksizlikning bajarilishi zarur va yetarlidir.

Bundan esa qator yaqinlashuvchiligini ifodalaydigan quyidagi teorema kelib chiqadi.
Teorema.(Koshi teoremasi) qator yaqinlashuvchi bo`lishi uchun
son olinganda ham shunday topilib, va m=1,2,3,… bo`lganda
(5)
tengsizlikning bajarilishi zarur va yetarli.
Eslatma. Agar qator uchun (5) shart bajarilmasa, ya`ni

(6)
bo`lsa, u holda qator uzoqlashuvchi bo`ladi.

2. Qatorlarning yaqinlashish alomatlari
2.1. Musbat hadli qatorlar va ularning yaqinlashuvchanligi. Faraz qilaylik,
(1)
qator berilgan bo`lsin.
Agar bu qatorda bo`lsa, (1) musbat hadli qator deyiladi.
Musbat hadli qatorlarda, ularning qismiy yig`indilaridan iborat ketma-ketlik o`suvchi ketma-ketlik bo`ladi.Haqiqatan ham,

1-teorema.Musbat hadli

qatorning yaqinlashuvchi bo`lishi uchun

, (n=1,2,3,….)
ketma-ketlikning yuqoridan chegaralangan bo`lishi zarur va yetarli.
Zaruriyligi .(1) qator yaqinlashuvchi bo`lsin .Unda da ketma-ketlik chekli limitga ega bo`ladi.Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning xossasiga ko`ra
chegaralangan, jumladan, yuqoridan chegaralangan bo`ladi.
Yetarliligi. ketma-ketlik yuqoridan chegaralangan bo`lsin .Unda monoton ketma-ketlikning limiti haqidagi teoremaga ko`ra ketma-ketlik da
chekli limitga ega bo`ladi .Demak, (1) qator yaqinlashuvchi .


2.2. Musbat hadli qatorlarda taqqoslash teoremalari. Ikkita
,
musbat hadli qatorlar berilgan bo`lsin.
2-teorema. Faraz qilaylik, va qatorlar uchun da
(2)
tengsizlik bajarilsin.
U holda :
1) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi ;
2) qator uzoqlashuvchi bo`lsa , qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
3-teorema. Faraz qilaylik, musbat hadli va qatorlarning umumiy hadlari uchun

bo`lsin.U holda :

1. bo`lib, qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi.

   
   

2. K>0 bo`lib , qator uzoqlashuvchi bo`lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.