Mavzu: “Shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Riman teoremasi

Natija. Musbat hadli , va qatorlar uchun

bo`lsa, u holda va qatorlar bir vaqtda yoki yaqinlashuvchi bo`ladi, yoki uzoqlashuvchi bo`ladi.

4-teorema. Aytaylik, musbat hadli va qatorlar uchun

bo`lsin
U hoda :

1) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi;
2) qator uzoqlashuvchi bo`lsa, qator ham uzoqlashuvchi bo`ladi.
Izoh. Yuqorida keltirilgan teoremalar n ning biror qiymatidan boshlab bajarilganda ham o`rinli bo`ladi.
3. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar va ularning xossalari.


3.1. Absolyut va shartli yaqinlashuvchi qatorlar tushunchasi. Faraz qilaylik,
(1)
qator berilgan bo`lsin .Bu qatorning har bir hadi ixtiyoriy ishorali haqiqiy sonlardan iborat. Odatda, bunday qator ixtiyoriy hadli qator deyiladi.
(1) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan ushbu
(2)
qatorni tuzamiz.
1-teorema. Agar (2) qator yaqinlashuvchi bo`lsa, u holda (1) qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi .
Isbot. Aytaylik, (2) qator yaqinlashuvchi bo`lsin. Unda qator yaqinlashuvchanligi haqidagi Koshi teoremasiga ko`ra
da

bo`ladi. Ravshanki,

Keyingi ikki munosabatdan
da

bo`lishi kelib chiqadi.Koshi teoremasiga muvofiq (1) qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

1-ta`rif. Agar qator yaqinlashuvchi bo`lsa, qator absolyut yaqinlashuvchi qator deyiladi . Masalan, ushbu

qator bo`lganda absolyut yaqinlashuvchi qator bo`ladi, chunki

umumlashgan garminik qator bo`lganda yaqinlashuvchi .
2-Ta`rif . Agar qator yaqinlashuvchi bo`lib, qator uzoqlashuvchi bo`lsa , qator shartli yaqinlashuvchi qator deyiladi.
Misol . Ushbu

qator shartli yaqinlashuvchi qator bo`ladi.

Ravshanki ,berilgan qatorning qismiy yig`indisi
(3)
bo`ladi.Ma`lumki,ln(1+x)funksiyaning

bo`lib , bo`lganda

bo`lar edi.
Xususan, x=1 bo`lganda

bo`ladi.

(3) va (4) munosabatlardan
ln2=
va undan
bo`lishi kelib chiqadi. Demak, da . Bu esa qaralayotgan qatorning yaqinlashuvchi ekanligini bildiradi .
Ayni paytda,berilgan qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan

Qator garmonik qator bo`lib ,uning uzoqlashuvchligi ma`lum. Demak, berilgan qator shartli yaqinlashuvchi qator .

Endi
qatorning musbat hadli qator ekanini e`tiborga olib , qatorning absolyut yaqinlashuvchligini ifodalovchi alomatlarni keltiramiz.