Mavzu: “Shartli yaqinlashuvchi qatorlar. Riman teoremasi

Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarning xossalari.
Absolyut yaqinlashuvchi qatorlarning xossalarni keltiramiz.

1. Agar qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lsa , u hoda bu qator yaqinlashuvchi bo`ladi.

   
   

Bu xossaning isboti 1- teoremadan kelib chiqadi .

2. Agar
   

(11)
qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib , sonlar ketma-ketligi chegaralangan bo`lsa ,u holda
(12)
qator absolyut yaqinlashuvchi bo`ladi.
<sub>Isbot.</sub> Shartga ko`ra , sonlar ketma-ketligi chegaralangan .Demak,
da (13)
bo`ladi.
(11) qator absolyut yaqinlashuvchi. Unda Koshi teoremasiga ko`ra son
olinganda ham ga ko`ra shunday va m=1,2,3,…. bo`lganda
(14)
bo`ladi .
(13) va (14) munosabatlardan foydalanib topamiz :

yana Koshi teoremasidan foydalanib , qatorning absolyut yaqinlashuvchi ekanini topamiz.

3. Faraz qilaylik,

   
   

(15)
qator hadlarining o`rinlarini almashtirish natijasida ushbu

(16)
qator hosil qilingan bo`lsin.
Ravshanki, (16) qatorning har bir hadi (j=1,2,..) (15) qatorning tayin bir
hadining aynan o`zidir ,ya`ni bo`ladi.
9.3.3-Teorema. Agar (15) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga teng bo`lsa, u hoda bu qator hadlarining o`rinlarining ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil bo`lgan (16) qator absolyut yaqinlashuvchi va uning yig`indisi ham S ga teng bo`ladi .
Aytaylik, (15) qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lib, uning yig`indisi S ga
teng bo`lsin.
(16) qator hadlarining absolyut qiymatlaridan tuzilgan qatorning qismiy yig`indisini bilan bilan belgilaylik:
, .
Agar deyilsa , unda va bo`lganda

bo`ladi.

1. qator absolyut yaqinlashuvchi bo`lgani sababli uning qismiy yig`indilari

   
   

ketma-ketligi yuqoridan chegaralangandir. Binobarin , yig`indi ham yuqoridan chegaralangan bo`ladi.Unda musbat hadli qatorning yaqinlashuvchanligi haqidagi teoremaga ko`ra qator va ayni paytda qator ham yaqinlashuvchi bo`ladi. Demak, qator absolyut yaqinlashuvchi. Uning yig`indisini

deymiz. Endi berilgan qator hadlarining o`rinlarini ixtiyoriy ravishda almashtirishdan hosil bo`lgan

qator yig`indisini S ga teng ekanligini isbotlaymiz . Buning uchun ga ko`ra shunday topilib, da

(17)
bo`lishini ko`rsatish yetarli bo`ladi.
Ixtiyoriy musbat sonni tayinlab olamiz . Modomiki, qator absolyut yaqinlashuvchi ekan , unda Koshi teoremasiga olingan songa shunday
nomer topiladiki,
, (m=1,2,3,…), (18)
shuningdek, qatorning yaqinlashish ta`rifiga ko`ra
(19)
bo`ladi.
Yuqoridagi natural son ni shunday katta qilib olamizki, qatorning
dan katta bo`lgan n nomerli ixtiyoriy qismiy yig`indisi
da
qatorning barcha dastlabki ta hadi qatnashsin.
Ravshanki,

Keyingi munosabatdan va (19) tengsizlikni e`tiborga olib topamiz :

(20)
Ma`lumki , bo`lganda qatorda qatorning barcha dastlabki
ta hadi qatnashadi. Binobarin ,


_ayirma qator har bir hadining nomeri dan katta bo`lgan ta
hadining yig`indisidan iborat .
Endi natural m sonni shunday katta qilib olamizki ,bunda son yuqorida aytilgan barcha ta hadlarning nomerlaridan katta bo`lsin.
U holda
(21)
bo`ladi.
(20), (21) va (18) munosabatlardan foydalanib , (17) tengsizlik, ya`ni

tengsizlikning bajarilishini topamiz.

Natija. Agar musbat hadli qator yaqinlashsa ,u hadlarining o`rnini istalgancha almashtirgandan keyin ham huddi o`sha yig`indiga yaqinlashadi .