Mavzu: Tekislikdagi kuchlar sistemasi

Tekislikda joylashgan kuchlar sistemasining muvozanati. Parallel kuchlar muvozanati
Ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining muvozanatlik shartlari (4.6) formulada ko‘rsatilgandek, ikkita =0 va =0 vektor tenglama orqali aniqlanadi. Quyida shu ikkala vektor tenglamadan tekislikda joylashgan kuchlar sistemasi uchun kelib chiqadigan analitik shartlarni ko‘rib chiqamiz. Ular, asosan, uch turda bo‘ladilar.
1. Muvozanatlik shartining asosiy shakli. Bosh vektor =0 bo‘lgani uchun, albatta, R_x=0 va R_y=0, hamda M_o=0 bo‘ladi. Bu erdagi M_o - algebraik moment, O - tekislikda olingan ixtiyoriy nuqta. Lekin (4.8) formuladan ma’lumki tekislikda joylashgan kuchlar sistemasining muvozanat holati faqat quyidagi algebraik shartlar bajarilgandagina sodir bo‘ladi,
=0 (4.10)
(4.10) formula muvozanatlik shartlarning quyidagi analitik ifodalarini belgilaydi: tekislikda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining muvozanatda bo‘lishining zaruriy va etarli shartlari shundan iboratki, barcha kuchlarning ikkala (x va y) o‘qlarga proektsiyalarining yig‘indilari va ixtiyoriy olingan nuqtaga nisbatan momentlarining yig‘indilari nolga teng bo‘lishi shart. O‘z navbatida qattiq jismga qo‘yilgan ixtiyoriy tekis kuchlar sistemasining muvozanat shartlari ham shu (4.10) formula orqali ifodalanadi.
2*. Muvozanatlik shartining ikkinchi xil ko‘rinishi: tekislikda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining muvozanatda bo‘lishining zaruriy va etarli shartlari shundan iboratki, barcha kuchlarning ixtiyoriy A va B markazga nisbatan olingan momentlarining yig‘indilari va AB chiziqqa perpendikulyar bo‘lmagan o‘qqa bo‘lgan proektsiyalarining yig‘indilari nolga teng bo‘lishi shart, ya’ni
=0 =0 (4.11)


9- shakl.
Agarda shu uchala analitik shartlardan birortasi qanoatlanmasa, masalan, ¹0 yoki M_A¹0 (yoki M_B¹0) sistemasi muvozanatda bo‘lmaydi. Ushbu shartni etarli ekanligini isbot qilaylik. (4.11) muvozanat tenglamalar sistemasining faqat ikkitasi, M_A=0 va M_B=0 qanoatlansin. U holda bunday sistema ko‘rsatib o‘tilgandek muvozanatda bo‘lmasligi mumkin. Chunki shu A va B nuqtalarda o‘tuvchi bo‘lgan teng ta’sir etuvchi kuch mavjud bo‘lishi mumkin (45- shakl) va uni shu nuqtalarga nisbatan olingan momenti nolga teng bo‘ladi, lekin muvozanat holati ta’minlanmaydi. Shu sababli (4.11) ning uchinchi tenglamasi ham R_x= qanoatlanishi shart bo‘ladi. Ox o‘qi AB chiziqqa perpendikulyar bo‘lmaganligi uchun, uchinchi tenglama faqat bo‘lgandagina qanoatlanadi xolos.
3. Muvozanatlik shartining uchinchi xil ko‘rinishi: (uchta momentlar haqidagi teorema) tekislikda ixtiyoriy joylashgan kuchlar sistemasining muvozanatda bo‘lishining zaruriy va etarli shartlari shundan iboratki, barcha kuchlarning bir to‘g‘ri chiziqda yotmagan ixtiyoriy uchta A, B va C markazlarga nisbatan olingan momentlarining yig‘indilari nolga teng bo‘lishi shart, ya’ni
(4.12)
Bularning qanoatlanishi zaruriy shart ekanligi o‘rinlidir. Ushbu shartlarning etarli ekanligini isbotlash uchun shu (4.12) tenglamalar qanoatlangan holda sistema muvozanatda emas deb faraz qilaylik. U holda sistema teng ta’sir etuvchi vektorga "Vektоr:teng ta’sir etuvchi vektоr:"ga ega bo‘lishi shart, ammo bitta teng ta’sir etuvchi vektor bitta to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqtadan o‘tishi aslo mumkin emas, demak ushbu (4.12) shartlar etarli ekan.
Bularning qanoatlanishi zaruriy shart ekanligi o‘rinlidir. Ushbu shartlarning etarli ekanligini isbotlash uchun shu (4.12) tenglamalar qanoatlangan holda sistema muvozanatda emas deb faraz qilaylik. U holda sistema teng ta’sir etuvchi vektorga "Vektоr:teng ta’sir etuvchi vektоr:"ga ega bo‘lishi shart, ammo bitta teng ta’sir etuvchi vektor bitta to‘g‘ri chiziqda yotmagan uchta nuqtadan o‘tishi aslo mumkin emas, demak ushbu (4.12) shartlar etarli ekan.
Yuqoridagilardan ko‘rinib turibdiki muvozanatlik shartlari tenglamalari sistemasining uchala ko‘rinishi ham uchta tenglamalar sistemalaridan iborat ekan. Lekin (4.10) tenglamalar sistemasi asosiy hisoblanadi, chunki uni qo‘llashda keyingi ikkita ko‘rishidagi (4.11) va (4.12) tenglamalar uchun qo‘yilayotgan qushimcha shartlarning hojati yo‘q.


10-shakl
Agar jismga tekislikda joylashgan , , ,..., kuchlar sistemasidan tashqari, shu tekislikda joylashgan va momentlari m₁, m₂.,..,.m_n lardan iborat bo‘lgan juftlar ta’sir etayotgan bo‘lsa, muvozanat tenglamalarini tuzishda juft kuchlarning proektsiyalarini hisoblashning hojati yo‘q, chunki ularning ixtiyoriy o‘qdagi proektsiyalarining algebraik yig‘indisi nolga teng bo‘ladi.
Momentlar uchun tuzilgan tenglamalarda esa qaysi nuqtaga nisbatan moment aniqlanishidan qat’iy nazar juftlarning momentlari algebraik ravishda yig‘indiga qo‘shib yuboriladi, chunki juftlarning momentlari istalgan nuqta uchun bir xil bo‘ladi . Shunday qilib, agar jismga ixtiyoriy tekis kuchlardan tashqari, juftlar ham ta’sir etsa muvozanatlik shartlarining (4.10) dagi ifodasi, quyidagi ko‘rinishga keladi:

=0 (4.13)
bu erda k = 1,2,3,..,n; berilgan kuchlar soni, i = 1,2,3,..,s; berilgan juftlar soni.
(4.11) va (4.12) tenglamalar sistemasi ham shunday o‘zgarishi mumkin.
Tekislikda ixtiyoriy joylashgan parallel kuchlar sistemasiga "Kuch: parallel kuchlar sistemasi:"ning muvozanatlik shartlari. Agar barcha kuchlar o‘zaror parallel ravishda yo‘nalgan bo‘lsa, Ox koordinata o‘qini shu kuchlarga perpendikulyar ravishda, Oy o‘qiga parallel ravishda yo‘naltiriladi (46- shakl). U holda barcha kuchlarning Ox o‘qiga proektsiyalari nolga teng bo‘ladi va (4.10) tenglamalar sistemasining birinchi tenglamasi 0=0 dan iborat ayniyatga aylanib qoladi. Shu sababli parallel kuchlar uchun (4.10) tenglamalar sistemasi ikkita tenglamadan iborat bo‘ladi xolos, ya’ni
; (4.14)
bu erdagi Oy - o‘qi kuchlarga parallel yo‘nalgan bo‘lishi shart.
Parallel kuchlar uchun muvozanatlik sharti tenglamalar sistemasining boshqacha ko‘rinishi (4.11) formuladan kelib chiqadi va
(4.15)
lekin A va B nuqtalar kuchlarga parallel bo‘lgan bir chiziqda joylashmasligi shart.