Mavzu: Tezlik vektori uyurma va tezlik divirgensiyasi berilganda hisoblash. Topshirdi

2.1. Vektor maydon uyurmasi.
TA’RIF. Xuddi ga o‘xshash bazis vektorlari orqali A=Aⁱ kabi tasvirlanuvchi va A komponentalari formulalar bilan almashtiriluvchi

hamda koordinatalarni almashtirishga nisbatan invariant
(2.1.1)
ob‘yekt vektor deyiladi. Bu yerda A kattaliklar koordinat sistemasiga bog‘liq bo‘ladi, bazis vektorlari esa A_i kattaliklar yordamida yangi ob‘yekt- vektorni bunyod qiladi.
Chiziqli koordinatalar sistemasida tenzorning ta’rifini berish uchun bundan keyin bizga vektorlarining diad ko‘paytmalari tushunchasi bilan tanishish zarur bo‘ladi (diad – ikki vektor ko‘paytmasi, poliad ko‘p vektorlar ko‘paytmasi demakdir). Bazis vektorlarining quyidagi diad ko’paytmalarini kiritamiz

va
(2.1.2)
ob‘yektni qaraymiz. Bu yerdagi T sonlar T ning E bazisdasi komponentalari deyiladi. Bazis vektorlarining diad ko‘paytmalari chiziqli bog‘lanmaganlar. U holda T=0 tenglik faqat T =0 ( = ) munosabat ning hamma qiymatlari uchun birvarakayiga bajarilsa o‘rinli bo‘ladi. Odatda E_i lar o‘rniga belgilashlarni ishlatish va (2) ni

ko‘rinishda yozish ancha qulayroq. Diad ko‘paytmalar ham xuddi bazis vektorlarining o‘zlari kabi koordinatalar sistemasini tanlashga, boshqacha aytganda koordinatalar sistemasiga bog‘liq bo‘ladi. Bu esa o‘z navbatida koordinatalarni almashtirganda diadlarni almashtirish formulasini chiqarishni taqozo qiladi. Yuqorida keltirilgan formula asosida diad kopaytma uchun
(2.1.3)
ifodaga ega bo‘lamiz. Demak,

ob‘yekt invariant bo‘lishligi uchun va (3) formulaga asosan kattaliklar kontravariant yo‘l bilan almashtirilishlari zarurligi kelib chiqadi, ya’ni
(2.1.4)
TA’RIF. T = T ^ij - invariant ob‘yekt ikkinchi rang tenzor deyiladi. Tenzorning rangi deb uning komponentalarining indekslari soniga aytiladi.
Yuqorida ta’kidlanganidek, vektor birinchi rang tenzordir. Ikkinchi rang tenzorga o‘xshash ixtiyoriy rangli tenzor tushunchasini kiritsh mumkin. Masalan:

ob‘yekt to‘rtinchi rang tenzordir. Bu yerdagi larni poliad ko‘paytmalar boshqaradi; T ^{i j k l} komponentalar xuddi (4) kabi almashtiriladi.