Mavzu: Tezlik vektori uyurma va tezlik divirgensiyasi berilganda hisoblash. Topshirdi

2.2. Vektor maydon uyurmasi xossalari.

Ushbu
(2.2.1)

vektor maydon berilgan bo’lib, P, Q, R funksiyalar uzluksiz va uzluksiz birinchi tartibli xususiy hosilalarga ega bo’lsin.
1-ta’rif . vektor maydonning uyurmasi (rotori) deb,
(2.2.2)
formula bilan aniqlanadigan vektorga aytiladi.
(2.2.2) formuladan foydalanib, Stoks formulasini quyidagicha yozish mumkin:
, (2.2.3)
(2.2.3) dan uning L yopiq kontur bo’ylab, sirkulyasiyasi vektor uyurmasining L vektor bilan chegaralangan ( ) sirt orqali o’tuvchi vektor o’qimiga teng.
( ) sirtning normali bo’lgani uchun (2.2.2) formulaga ko’ra (2.2.3) ni quyidagicha yozish mumkin:
(2.2.4)
Vektor maydon uyurmasi quyidagi xossalarga ega:

1. 
   , - o’zgarmas vektor.
   
2. 
   , bu yerda -vektor maydonlar, - ixtiyoriy o’zgarmaslar.
   
3. 
   (2.2.5)
   

2-ta’rif. Agar vektor maydon uyurmasi sohaning hamma nuqtalarida nolga teng bo’lsa, bu maydon shu sohada potensial (yoki gradientli, yoki uyurmasiz) maydon deyiladi.
Ta’rifga ko’ra potensial maydonning har bir nuqtasi uchun
(2.2.6)
ya’ni
(2.2.7)
(2.2.7) ayniyatlar vektor maydonning potensiallik sharti bo’ladi.
3-ta’rif. Gradienti vektor maydonni vujudga keltiruvchi skalyar funksiya shu vektor maydonning potensial funksiyasi yoki potensiali deyiladi.
Potensial maydon
(2.2.8)
munosabat bilan ifodalanadi, bunda yoki .
Agar fazoviy bir bog’lamli soha bo’lsa, u holda potensial maydondagi chiziqli integral integrallash yo’liga bog’liq bo’lmasdan, balki shu yo’lning boshlang’ich A hamda oxirgi B nuqtalarining koordinatalariga bog’liq bo’ladi va funksiyaning shu nuqtalardagi orttirmasiga teng bo’ladi.Bu holda potensial funksiyani hisoblash formulasi quyidagicha bo’ladi:
(2.2.9)
bunda
Vektor analizining asosiy tushunchalarini “nabla” operatori deb ataladigan Gamilton simvolik operatori
(2.2.10)
yordamida qulay ko’rinishda belgilash mumkin.
Bu operatorda vektorial va differensial xossalar birlashtirilgan, ni ga formal ko’paytirish xususiy hosilani ifodalaydi.
Maydonlar nazariyasining asosiy tushunchalarini Gamilton operatoridan foydalanib quyidagicha yozish mumkin:

1. 
   Agar differensiallanuvchi skalyar funksiya bo’lsa, vektorni skalyarga ko’paytirish qoidasiga ko’ra
   

(2.2.11)
2. Agar bo’lib, funksiyalar differensiallanuvchi bo’lsa,
(2.2.12)

3. 
   bo’lsa, u holda
   

(2.2.13)
Gradient, divergensiya, uyurmani hisoblash amallari birinchi tartibli differensial amallardir.