mavzu: va 3- tartibli determinantlar. О‘rniga qо‘yishlar gruppasi. R e j a

2- teorema. Transpozitsiya natijasida о‘rniga qо‘yishlarning juft-toqligi о‘zgaradi.
Isboti.
,
transpozitsiya natijasida hosil qilingan bо‘lsin. U holda i_k ni i_l dan oldinga о‘tkazish uchun l-(k-1) ta inversiya bajarish kerak. Undan keyin i_l ni joyiga (ya’ni i_l-1 dan keyingi joyga ) qо‘yish uchun l-(k-1)-1 ta inversiya, jami l-k+1+l-k=2(l-k)+1 ta inversiya bajarish kerak.
3-teorema. n! ta о‘rniga qо‘yishlarning yarmi tasi juft va qolgan yarmi tasi toq bо‘ladi.
Isboti. Agar n! ta о‘rniga qо‘yishlardagi juftlari soni p, toklari soni q bilan belgilasak, p+q=n! bо‘ladi. Endi agar barcha n! ta о‘rniga qо‘shishlarda transpozitsiya bajarsak, u holda juftlar toqlarga,toqlari esa juftlarga о‘tadi, ya’ni p=q, demak, va .
4-teorema. Juft о‘rniga qо‘shishlar tо‘plami kо‘paytirishga nisbatan gruppa hosil qiladi.
Buning isboti qat’iy keltirishni talabalarga havola qilamiz.
< ; .> da birlik element ayniy qо‘shish bо‘ladi. t ga teskarisi t^-1 bо‘ladi.
Natija. Toq о‘rniga qо‘shishlar tо‘plami kо‘paytirishga nisbatan gruppa bо‘lmaydi.
Bunda birlik element mavjud emas.
Misol .
ni qaraylik . S₃ ={ f₀ , f₁ , f₂ , f₃ , f₄ , f₅ } deb belgilab olsak, quyidagi jadvalga ega bо‘lamiz. Bu jadvalda birlik element e= f₀ , f₁ ga teskarisi f₂ ; f₂ ga teskarisi f₁ ; f₃ ga teskarisi f₃ ; f₄ ga teskarisi f₄ ; f₅ ga teskarisi f₅ . Shuningdek gruppaning barcha shartlari bajariladi, ya’ni S₃ ;   - multiplikativ gruppa bо‘ladi.

.	f0	f1	f2	f3	f4	f5
f0	f0	f1	f2	f3	f4	f5
f1	f1	f2	f0	f4	f5	f3
f2	f2	f0	f1	f5	f3	f4
f3	f3	f5	f4	f0	f2	f1
f4	f4	f3	f5	f1	f0	f4
f5	f5	f4	f3	f2	f1	f0