mavzu: va 3- tartibli determinantlar. О‘rniga qо‘yishlar gruppasi. R e j a

Z=  Z; +  da a ga teskari element (- a) hamda neytral element 0 bo‘ladi.
Z =  Z; +  ga butun sonlarning additiv gruppasi deyiladi.
Endi Z ni ko‘paytirishga nisbatan qarasak, Z =  Z; +  monoid bo‘ladi, chunki a 0 ga (teskari) simmetrik element a^-1=1/aZ.
3. Barcha ratsional sonlar to‘plami Q qo‘shishga nisbatan additiv Abel gruppasi Q= Q; +  bo’ladi. Agarda Q₁=Q \{0} to’plamni qarasak, Q₁= Q₁;  ham multiplikativ gruppa bo‘ladi.
4. Haqiqiy sonldar to‘plamini qarasak, u holda R= R; + additiv Abel gruppasi; R₁= R₁;  esa multiplikativ Abel gruppasi bo‘ladi. Bu yerda R₁=R \{0}.


4.О‘rniga qо‘yishlar gruppasi. Faraz etaylik, bizga n ta elementga ega bо‘lgan A tо‘plam berilgan bо‘lsin. Bu tо‘plam elementlarini 1,2,...,n lar bilan nomerlab chiqaylik. U holda A ni A={ 1,2,3,...,n} deb yozish mumkin.
1-ta’rif. A tо‘plamni о‘ziga biyektiv (о‘zaro bir qiymatli) akslantirishga о‘rniga qо‘shish deyiladi.
Tushunarliki qaralayotgan tо‘plamda n! ta о‘rniga qо‘yish mavjud. Bundan keyin biz s о‘rniga qо‘yishda 1, 2, 3, ... , n elementlarning mos ravishda i₁ ,i₂ , ... , i_n elementlarga о‘tishini kо‘rinishda belgilaymiz. Agar va о‘rniga qо‘yishlar berilgan bо‘lib i_k= j_k (k= 1,2,..., n) tenglik bajarilsa s va t о‘rniga qо‘yishlarga teng deyiladi va s= t kо‘rinishda yoziladi. ga ayniy о‘rniga qо‘yish deyiladi.
n ta elementdan tuzilgan A tо‘plamdagi barcha о‘rniga qо‘yishlar tо‘plamini S_n bilan belgilaymiz. S_n dagi ikkita s va t о‘rniga qо‘yishning kо‘paytmasi deb avvalo s keyin esa t о‘rniga qо‘yishni bajarish natijasida hosil bо‘lgan о‘rniga qо‘yishga aytishga kelishamiz.
Masalan: bо‘lsin.
U holda bо‘ladi.
1 - teorema.  S_n ;  - multiplikativ gruppa bо‘ladi.
Isboti. Gruppa ta’rifidagi shartlarning bajarilishini tekshiraylik.
1)  s,t S_n  s t S_n bajariladi;
2)  s,t,l S_n  s (t l)=(s t) l bо‘ladi, chunki agar
bо‘lsa, bu tenglik bо‘lib, uning chap tomoni
о‘ng tomoni ham dan iborat.
3) bо‘lib  s S_n uchun se= s bajariladi.
4) ga teskarisi bо‘ladi, chunki ss ^-1 = e.
Shunday qilib gruppa ta’rifidagi barcha shartlar bajariladi.  S_n ;   gruppaga n-tartibli simmetrik gruppa deb yuritiladi.
Agar о‘rniga qо‘yishda i₁ < i₂ < i₃ < . . .< i_n bо‘lsa, u inversiyaga ega emas deyiladi, aks holda inversiyaga ega deyiladi.
Masalan: da inversiyalar soni 1 uchun 1 ta, 2 uchun 2 ta , 3 uchun 1 ta, 4 uchun 0 ta, jami 4 ta inversiya bor.
Berilgan о‘rniga qо‘yishdagi inversiyalar soni juft bо‘lsa, unga juft о‘rniga qо‘yish, agarda inversiyalar soni toq bо‘lsa , u holda toq о‘rniga qо‘yish deyiladi .
О‘rniga qо‘yishdagi istalgan 2 ta elementning о‘rnini almashtirishga transpozitsiya deyiladi.
Agar i_k va i_l larning о‘rni almashtirilsa, u (i_k, i_l) kо‘rinishda belgilanadi.