Mavzu: Varing muammosi. Varing muammosida doiraviy metod. G. Veyl

Mavzu: Varing muammosi.Varing muammosida doiraviy metod. G.Veyl
y ig ’indilarini baholash.Varing muammosida assimtotik formula.
G(n) ning bahosi.
Fransuz matematigi J.L.Lagranjning ixtiyoriy natural sonni tо‘rttadan ortiq bо‘lmagan butun sonlarning kvadratlari yig‘indisi kо‘rinishida ifodalash mumkinligi haqidagi ishlaridan keyin 1770 yilda ...Varing (Waring) о‘zining “Algebraik fikrlar” asarida “har bir juft natural sonni tо‘qqiztadan ortiq bо‘lmagan manfiy bо‘lmagan butun sonlarning kublari, 19ta bikvadratlar va hokazolar kо‘rinishida ifodalash mumkin”- degan gipotezani ilgari suradi.
Hozirda u bilan quyidagi tasdiqni kо‘zda tutgan deb hisoblashadi: ixtiyoriy butun musbat soni uchun shunday natural soni mavjudki, har bir natural sonini tadan ortiq bо‘lmagan natural sonlarning darajalari yig‘indisi kо‘rinishida ifodalash mumkin. Agar biz bu shartni qanoatlantiruvchi eng kichik ni bilan belgilasak, u holda
bо‘ladi.
Bu gipoteza keyinchalik Varing problemasi nomi bilan yuritila boshlagan va XIX- asr mobaynida ayrim olingan k lar uchun problema yechilgan bо‘lsada umumiy holda о‘z yechimini topmadi. Faqat1909 yilda D.Gilbert birinchi bо‘lib barcha k≥2 lar uchun chekli g(k) ning mavjud ekanligini isbotladi. D.Gilbert metodi bilan olingan g(k) ning qiymati ancha qо‘pol (katta) edi.
1920 yilda ingliz matematiklari G.Xardi va Dj. Littlvudlar Varing problemasiga doiraviy usulni qо‘lladilar va yetarlicha katta lar uchun

tenglamaning manfiy bо‘lmagan butun sonlardagi yechimlari soni R_s(n,k) uchun asimptotik formula olganlar.
Xardi-Litllvud metodining mohiyati quyidagidan iborat: faraz qilaylik A={a_m} – manfiy bо‘lmagan butun sonlarning qat’iy о‘suvchi ketma-ketligi bо‘lsin. Ushbu

funksiya va uning s – darajasi


ni qaraymiz. Bunda R_s(n) bilan n ni A dan olingan s ta hadning yig‘indisi kо‘rinishida ifodalashlar soni belgilangan. Koshining integral formulasiga kо‘ra

bu yerda 0<<1.
Xardi-Litllvud (X.-L.) metodiga kо‘ra integral R_s(n) ikkita qо‘shiluvchi I₁ va I₂ lar yig‘indisiga ajratiladi. Bunda I₁ birinchi qо‘shiluvchi R_s(n) uchun asimptotik formuladagi bosh hadni, ikkinchi qо‘shiluvchi I₂ esa qolddiq hadni beradi. Shuning uchun ham X.-L. ning doiraviy usuli bu R_s(n) dan bosh hadni ajratib olish metodidir.
Keyingi yillarda X.-L. metodiga bir qancha о‘zgartirishlar kiritildi. Bularning eng muhimlari I.M. Vinogradov[B] va Xua [X] lar tomonidan kiritilgan. I.M. Vinogradov X.-L. metodidagi cheksiz yig‘indini chekli trigonometrik yig‘indi bilan almashtirishni taklif etdi va Varing problemasidagi asimptotik formulaning qoldiq hadini ancha yaxshilashga erishdi. Shu asosda uning trigonometrik yig‘indilar metodi vujudga keldi([V1,2] larga qarang).
Xua [X] lar tomonidan kiritilgan kiritilgan о‘zgartirishlar ekanligini kо‘rsatish imkonini berdi. Katta va kichik yoylarni aniqlash ancha erkinlik va bu yerdagi tanlov yetarlicha ixtiyoriydir. Endi shu о‘zgarishdan kelib chiqadigan natija bilan tanishib chiqamiz. Faraz qilaylik yetarlicha katta,
(1.2)
va yetarlicha kichik musbat faqat ga bog‘liq bо‘lgan son bо‘lsin. U holda lar uchun
(1.3)
deb olamiz va ularni katta yoy (interval) lar deb ataymiz. Barcha katta yoylarning birlashmasini belgilaymiz. oraliqning о‘rniga
(1.4)
birlik intervalni qarash qulay. Chunki oraliqga barcha katta yoylar ham tushavermaydi, lekin Biz kichik yoylar deb ataymiz.
Tushunarliki, agar va

deb olsak

bо‘ladi. Yozuvda qulaylik uchun ning о‘rniga belgilashdan foydalanamiz. U holda
(1..3)
ga ega bо‘lamiz.
Bu integrallarni baholashdan oldin ba’zi zaruriy lemmalarni keltiramiz.