Mavzu: Varing muammosi. Varing muammosida doiraviy metod. G. Veyl

1.3.-lemma(Veyl). Agar ixtiyoriy arifmetik funksiya bо‘lib,

bо‘lsa, u holda

bо‘ladi. Bu yerda

va intervallar ( bular bо‘sh ham bо‘lishi mumkin)

munosabatlarni qanoatlantiradi.
Isboti. Isbotni bо‘yicha matematika induksiya metodidan foydalanib bajaramiz. Yozuvda qulaylik uchun ning о‘rniga deb yozamiz. Tushunarliki, Tushunarliki,

bu yerda
Endi agar lemma ning birorta qiymati uchun о‘rinli bо‘lsa, u holda Koshi tengsizligiga asosan quyidagi tengsizlikka kelamiz:

Bunda

va Shuning bilan lemma tо‘la isbot bо‘ldi.
1.4-lemma.(Veyl tengsizligi). Agar va

bо‘lsa,

bajariladi. Bunda
Isboti.
va bо‘lsa,

bajariladi. Shuning uchun ham yoylar juft –jufti bilan kesishmaydilar.
1.3- lemmadan deb olib

ni hosil qilamiz. Bu yerda

bо‘lgan hadlar bu tengsizlikning о‘ng tomonidagi hissasi ga teng. Shuning uchun ham


Bundan lar uchun 1.2- lemmaga asosan

ni hosil qilamiz. bо‘lganda esa natija trivial hisoblanadi.
Shunday qilib lemma isbot bо‘ldi. Endi Xua lemmasinin isbotlaymiz. Bu lemma Varing problemasidagi ifodalashlar soni uchun asimptotik formulani isbotlashda qoldiq hadning tegishli, ya’ni bizni qanoatlantiruvchi bahosini olisha muhim hisoblanadi ([Xis Braun]).
1.5-lemma(Xua). Agar bо‘lsa,

tengsizlik о‘rinli.

Isboti. Isbotni bо‘yicha matematik induksiya metodidan foydalanib bajaramiz. bо‘lsa, Parseval ayniyatiga kо‘ra
=


Endi faraz qilaylik, lemma uchun о‘rinli bо‘lsin. 1.3-lemmada deb olsak,

hosil bо‘ladi. Bunda bilan ga nisbatan darajali butun koeffitsiyentli kо‘phad belgilangan. Shuning uchun ham

bunda bilan tenglamaning va shartlarni qanoatlantiruvchi yechimlari soni belgilangan. Tushunarliki, . Shuningdek,

dan
kelib chiqadi. Bu yerda bilan

tenglamaning shartni qanoatlantiruvchi yechimlari soni belgilangan. Shunday qilib,

va induktivlik farazimizga kо‘ra

(1.6) ga asosan Parseval ayniyati va (1.7) dan

ni hosil qilamiz. Bundan tashqari

Bulardan isbotlanishi talab etilayotgan lemmaning tasdig‘i kelib chiqadi.
Endi ushbu paragrafning asosiy natijasi (1.3) dagi kichik yoylar bо‘yicha olingan integralni baholaymiz.