Method of calculating the dimensions of greenhouse-type single slope watermaker by taking into account the accumulation of solar energy parnik tipidagi bir nishabli suv chuchutgichi o

Объект и методы исследования

Применим видоизмененный метод квазистационарного приближения Лейбензона.
Сущность метода заключается в том, что подвижная граница «замораживается», т.е. полагается l t( ) l s( ) const и решается обычная задача сопряжения с вертикальной границей раздела x  l s( ). Затем, подставляя вместо l s( ) функцию l t( ) и пользуясь условием на границе x l t( ), получают уравнение для определения x l t( ).
Итак, пологая l t( )  l s( )  0 рассмотрим следующую двухслойную задачу на полупрямой x  0, решение которой зависит от l s( ):

ut( )s  2 ( )x 2ux2( )s  , ( , )x t t0 \{ :x x  l s( ) (11) a

 u( )s x0 ( )t ; u( )s t t 0 ( )x ; u( )s x  0, (12)
^u( )sx l s_ ( )  0, h1 u( )s x l s ( ) 0  h2 u( )s x l s ( ) 0 , (13)
x x
где  и a определяется (7), (8) с учетом l t( ) l s( ); , и f обладает приведенными выше свойствами (9), символ означает, что f x( ) x a  f x a 0 f x a 0.
В работе [2] с помощью интегрального преобразования Лапласа-Карсона построена функция Грина двухслойной первой краевой задачи на полупрямой x  0 для уравнения теплопроводности с кусочно-постоянным коэффициентом в случае l s( ) 1. В случае
l s( ) 1, l s( )  0 она имеет вид:
g x t₁( , , , , ( )), l s 0  x, l s( ),
^g₂(x t, , , , ( )), l s 0  l s( )  x  , g x t_i ( , , , , l s( ))  _
g x t3( , , , , ( )), l s 0  x, l s( )  ,
_g₄(x t, , , , ( )), l s l s( )  x, ,
где g x t_i ( , , , , ( )),l s i 1,2,3,4 являются суммами сходящихся рядов.
Отметим, что из-за громоздкости выражения для g x t_i ( , , , , l s( )) эти выражения здесь не приведены.
Пользуясь интегральным представлением [3] решение задачи (11), (12), (13) нетрудно получить в виде решения следующего интегрального уравнения:
u^{( )s} (x t, )  A u^{( ) ( )s s}  B x t l s( , ; ( )). (13)
Здесь
1 t l s( )
A u( )s ( )s  d g x t( , , , , l s( )) (f u( )s  0 )d
t0 0
 t

^{2 }g x t( , , , ,^ l s( )) _ ( )d B x t l s( , ; ( ))  0 g x t( , , , ,t l s₀ ( )) ( ) d  a₁ t_{0  0} 
Принимаем за приближенное решение задачи (3)-(6) функции u x t( , ) и l t( )
определяемые как решение следующей системы функциональных уравнений :
u x t( , )  Au  B x t l t( , ; ( )),
(14)
₀ [Au  B x t l t( , ; ( ))] _{x l t ( )}.
Здесь
Au  B x t l t( , ; ( )) [A u^{( )s ( )s}  B x t l s( , ; ( ))] _{l s( )l t( )}.
Результаты численного решения задач типа Стефана незначительно отличается от точного решения, полученного в квазистационарном приближении Лейбензона для достаточно малых значений времени [1]. Однако вопрос об оценке погрешности метода остается открытым.
Систему (14) запишем в виде матричного операторного уравнения:
 u P u l²( , )^{  }0
P l  _P u l₂( , )_   _{ }0 , (15) _{ }
где
P u l₁( , )   u Au B x t l t( , ; ( )),
P u l₂( , )  ₀ [Au  B x t l t( , ; ( ))] _{x l t ( )} .

u

Считаем, что областями действия и значений оператора ^Pl ^ является
соответственно пространства C^ и C , где
C ^  C₁ C₂;
C1 u x t( , ):uC[0,l] [ t T0, ],
C₂ l t( ): ( )l t  m t t( )( t₀ )^1/2, m t( )C_{[t T0}, ],1/ 2 ¹, b  max ( )l t  l T( ).
t₀t T
П од знаком  понимается прямое произведение .
Определение нормы в пространствах C^*, ^C₁и ^C₂ :
u _C1  ^maxx t, u x t( , ) ; l t^{( )} _C2  max (t t₀)^1/2l t( ) ;
 u u
 l *  u C1  l C2 ; P  l  P u l1( , ) C  P u l2 ( , ) C .
  C
Применим к уравнению (15) метод Нъютона-Канторовича [3]. _{В начале рассмотрим случай} 0  x l t( ).
Положим
l t₀( )  2a t₁( t₀)^1/2, 1/ 2 1,
u x t₀( , )  B x t l t( , ; ₀( )).
Тогда первое приближение процесса Нъютона находится решением следующего матричного уравнения относительно поправок u x t( , ) u x t₁( , )u x t₀( , ) и  l l t₁( )l t₀( ) :
P_1u(u l₀, )₀  u P_1l(u l₀, )₀ l  P u l₁( ₀, )₀ 

P2u(u l0, )0  u P2l(u l0, )0 l  P u l₂ ( ₀, )_{0 }. (16)

Здесь ^P_iu^,^P_il^ (i 1,2)  производные Фреше [3]. Приступим к получению оценок для норм
u₀  u₀ ^1_u
Pl₀ __P_l₀ __ и P_l _, _
которые участвуют в неравенстве, обеспечивающем сходимость процесса Нъютона. По определению нормы

u0 
Pl0   maxx t, P u l1( 0, )0  maxt P u l2 ( 0, ) .0

В силу предположений о гладкостях функции ^, и f , после некоторых
преобразований слагаемых левой части (15) получим
u^{0 }, 1/ 2 1, (17)
Pl_{0 } M _p (t t₀ )
_
где ^M _p  положительная постоянная, зависящая от данных задачи.
Если мы покажем, что матричное уравнение (16) разрешимо, то этот факт будет эквивалентен существованию и ограниченности по норме обратного оператора 1
 u₀ 
Pl₀  .
 
Решение матричного уравнения (16) равносильно системе линейных интегральных уравнений Вольтерра второго рода, которая разрешима при значениях t, достаточно близких к t₀.
Выполняя определенные вычисления доказывается , что операторное уравнение (15) имеет единственное в шаре
 u u₀ 1 12h₀
  l l0  r  r1, r1  h0 0
 u^*
Решение ^{ }_* , ^{где h}₀,^₀  постоянные, связанные с данными задачи.
 l
Замечание. Решение задачи (3)-(6) в области l t( )  x явно выписывается с помощью функции Грина для указанной области, если только известно решение указанной _{задачи в области} 0  x l t( ).

Результаты и их обсуждение

Выделен и исследован класс задач с неизвестной границей, отличающих от известных задач Стефана, Веригина, Флорина и опысывающих процесс фильтрации вблизи новых каналов и водохранилищ с учетом испарения, которое является нелинейной финитной функцией времени и уровня грунтовых вод.
Результаты данной работы могут быть использованы специалистами научноисследовательских и проектных институтов, ведущих теоритические и проектноизыскательные работы по предотвращению засоления и заболачивания а также подтопления земель в районе гидротехнических сооружений (крупные каналы, водохранилища и т.п.). Заключение
Проведен и применен способ раздельной линеаризации, дающий значительно меньшую погрешность по сравнению обычном способом линеаризации.
Решена задача с неизвестной границей, отличающаяся от известной задачи Стефана, которая описывает процесс фильтрации вблизи новых каналов и водохранилищ с учетом испарения. При этом разработанная методика может быть применена к решению подобных задач математической физики.