Методика обучения нумерации целых неотрицательных чисел
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ НАВЫКОВ ПИСЬМЕННОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
Download 136.52 Kb.
|
9 тема Абдурахмонова Махлиё
|
ГЛАВА 1. ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ФОРМИРОВАНИЯ НАВЫКОВ ПИСЬМЕННОГО СЛОЖЕНИЯ И ВЫЧИТАНИЯ У МЛАДШИХ ШКОЛЬНИКОВ
1.1 Сложение и вычитание с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода к построению множества целых неотрицательных чисел Перед тем, как перейти к рассмотрению методики изучения приемов письменного сложения и вычитания в начальных классах, необходимо выявить математические основы изучения арифметических действий, установить их важнейшие законы и правила, также взаимосвязь их компонентов и результатов. Понятие действия сложения и вычитания в математике можно рассмотреть с двух точек зрения: с позиций аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода. По правилам аксиоматической теории построения множества N определить сложение натуральных чисел можно, используя отношение «непосредственно следовать за». Дадим определение с позиций этой теории: сложением натуральных чисел называется алгебраическая операция, определенная на множестве натуральных чисел N и обладающая свойствами: 1) 2) [25, с.232] Число a+ b называется суммой натуральных чисел чисел a ? b , а сами числа a и b - слагаемыми. При построении множества Z0 используется тоже определение сложения, в котором меняется только первое свойство Доказано, что алгебраическая операция, обладающая указанными свойствами единственна и она существует [52, C. 233] Сложение натуральных чисел обладает свойствами коммутативности и ассоциативности. Раскроем их определения без доказательства. I. Коммутативный закон сложения (переместительный): II. Ассоциативный закон сложения (сочетательный): Остановимся на теоретико-множественном смысле суммы nZ0, Раскроем смысл определения сложения [52, с. 128]. Рассмотрим задачу, которую решают первоклассники: «Петя нашел 4 гриба, а Нина - 3. Сколько всего грибов нашли ребята?» Задача решается при помощи действия сложения: 4+3 = 7. Но как объяснить почему использовано сложение, а не другое действие? Представим условие задачи наглядно, изобразив каждый гриб, который нашел Петя кружком, а каждый гриб, найденный Ниной, квадратом (рис. 1). рис. 1 Чтобы ответить на вопрос задачи, надо к грибам Пети добавить (присоединить) грибы Нины, т.е. объединить два множества грибов (рис. 2), и сосчитать, сколько в этом объединении оказалось элементов. рис. 2 Видим, что сложение целых неотрицательных чисел тесно связано с операцией объединения множеств. Поэтому с точки зрения теоретико-множественного подхода сумму определяют через объединение непересекающихся множеств. Определение: суммой целых неотрицательных чисел a и b называют число в объединении непересекающихся множеств A и B, таких, что n (A) = a, n (B) = b: Объясним, пользуясь данным определением, что 5+2=7. 5- это число элементов некоторого множества А, 2 - число элементов некоторого множества В, причем их пересечение должно быть пусто. Возьмем, например, множества , B={a,b}. Объединим их: . Путем пересчета устанавливаем, что n = 7.Следовательно, 5+2 =7. Действие, при помощи которого находят сумму, называется сложением, а числа, которые складывают, называют слагаемыми. В начальном курсе математики сложением неотрицательных чисел вводится на основе практических упражнений, связанных с объединением двух множеств предметов (теоретико-множественная терминология и символика при этом не используется). Главным средством раскрытия теоретико-множественного смысла сложения является решение простых арифметических задач. Суть решения одной такой задачи проанализирована выше. Остановимся на определении вычитания натуральных чисел с точки зрения вышеуказанных теорий. При аксиоматическом построении теории натуральных чисел сначала дается определение разности, затем вычитания. Разностью натуральных чисел a и b называется такое натуральное число с, что b +с = a. [52, C.136]. Действие, с помощью которого находится разность чисел a и b называется вычитанием. Из определения видно, что вычитание - это действие, обратное сложению. Число a - b называется разностью чисел а и b, число а - уменьшаемым, число в - вычитаемым. Известно, что алгебраическая операция, удовлетворяющая указанному условию на множестве натуральных чисел, существует не всегда. Есть только необходимое условие существования разности и оно единственно: разность натуральных чисел а и b существует тогда и только тогда, когда b 1. Вычитание числа из суммы: чтобы вычесть число из суммы достаточно вычесть это число из одного слагаемого суммы и к полученному результату прибавить другое слагаемое. a, b, c, (a + b) - c = 1) 2) 3) Пример: (5768 + 929)668=(5768668) + 929 = 6029. 2. 3. Вычитание суммы из числа: чтобы вычесть сумму из числа, достаточно из этого числа последовательно вычесть каждое слагаемое одно за другим. Пример: 4. Вычитание числа из разности: чтобы вычесть число из разности достаточно из уменьшаемого a вычесть сумму двух других чисел. Пример: 5. Вычитание разности из числа: Примеры: 6. Прибавление разности к числу: Примеры: 7. Прибавление числа к разности: чтобы прибавить число к разности достаточно это число прибавить к уменьшаемому и из полученного результата вычесть вычитаемое. Пример: Раскроем теоретико-множественный смысл разности натуральных чисел. Раскрытие смысла снова начнем с простой арифметической задачи, которую мы даем учащимся первого класса: «Около школы посадили 8 деревьев - берез и рябин. Берез 3. Сколько рябин посадили около школы?» Чтобы ответить на вопрос задачи, надо . Но как объяснить, почему здесь использовано вычитание чисел, а не другое действие? Как и при решении задачи на сложение, рассмотренной нами выше, представим условие данной задачи наглядно, изобразив каждое дерево, посаженное около школы, кружком (рис. 3). Среди посаженных деревьев 3 березы - на рисунке выделим их, зачеркнув каждый кружок, изображающий березу. Тогда остальные деревья - рябины. Их столько, сколько будет, если из 8 вычесть 3, т.е.5 [52 ,С. 135]. Рис. 3 Видим, что решение данной задачи тесно связано с выделением из данного множества подмножества и нахождением числа элементов в дополнении этого множества, т.е. вычитание чисел оказывается связанным с операцией дополнения подмножества. Определение: Разностью целых неотрицательных чисел a и b называется число элементов в дополнении множества В до А при условии, что : Часто, чтобы проверить правильность выполнения действия вычитания мы обращаемся к сложению. Почему? Очевидно потому, что существует связь между действиями вычитания и сложения. Пусть даны целые неотрицательные числа a и b, такие, что , и пусть разность этих чисел есть число элементов дополнения множества B до множества A, т.е. Известно, что Следовательно, получаем, что Отсюда мы получаем определение разности с точки зрения аксиоматической теории построения числа, которая описывалась выше. Данное определение необходимо хорошо усвоить учащимся, так как проверка сложения вычитанием, а также вычитания сложением является одним из приемов самоконтроля, позволяющим избежать ошибок при вычислениях. Определение понятия вычитания как действия, обратного сложению, в явном виде не дается, но подчеркивается, что «вычитание связано со сложением: вычесть из числа 40 число 16 - значит найти такое число, которое при сложении его с числом 16 дает в сумме 40. Это число 24. Значит, 40-16 = 24». Таким образом, в данном параграфе мы рассмотрели и раскрыли понятие сложения и вычитания с точки зрения аксиоматической теории и теоретико-множественного подхода. В начальном курсе математики первоначальное представление о действиях умножения и деления формируется с позиций теоретико-множественного подхода на основе практических упражнений через моделирование ситуаций на предметных совокупностях, но без введения соответствующей терминологии и символики. 1.2 Понятие вычислительных навыков в начальном обучении математике и критерии их сформированности сложение вычитание навык письменный Деятельность по овладению вычислительными приемами можно рассматривать как учебную деятельность, важнейшим компонентом которой является действие контроля. Под контролем при правильности вычислительных приемов следует понимать как проверку всей деятельности, направленной на выполнение вычислительных приемов, так и проверку конечного результата [31]. В век компьютерной грамотности значимость навыков письменных вычислений, несомненно, уменьшилась. Вместе с тем, научиться быстро и правильно выполнять письменные вычисления важно для младших школьников как в плане продолжающейся работы с числами, так и в плане практической значимости этих навыков для дальнейшего обучения в школе. Проблема формирования у учащихся вычислительных умений всегда привлекала особое внимание психологов, дидактов, методистов, учителей. В методике математики известны исследования Е.С. Дубинчук, А.А. Столяра, С.С. Минаевой, Н.Л. Стефановой, Я.Ф. Чекмарева, М.А. Бантовой, М.И. Моро, Н.Б. Истоминой, С.Е. Царевой и др. Каждое из этих исследований внесло определенный вклад в разработку и совершенствование той методической системы, которая использовалась в практике обучения и нашло отражение в учебниках математики (М.И. Моро, М.А. Бантова, Г.В. Бельтюкова, А.М. Пышкало и др.) [1, 4, 6, 8]. Действующие на сегодняшний день программы по математике обеспечивают достаточный уровень формирования вычислительных навыков школьников. Изучение вычислительного приема происходит после того, как школьники усвоят его теоретическую основу (определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие их них). Причем в каждом конкретном случае учащиеся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительного приема, конструируют различные приемы для одного случая вычислений, используя различные теоретические положения. Особенность изучения письменных вычислений обусловлена тем, что у детей быстро развивается усталость при работе с числами. Это объясняется большим количеством операций как письменного сложения и вычитания, так и письменного умножения и деления. Избежать быстрой утомляемости и снижения внимания при изучении письменных вычислений поможет чередование различных видов деятельности, отказ от однообразных тренировочных упражнений, обучение приёмам действия контроля. Формирование у младших школьников вычислительных навыков остаётся одной из главных задач начального обучения математике, поскольку вычислительные навыки необходимы при изучении арифметических действий. Рассмотрим некоторые определения понятия «навык». И.П. Подласый в [22, с.295] определяет навык как «умения, доведенные до автоматизма, высокой степени совершенства». В «Педагогическом энциклопедическом словаре» [21, с.156] «навык - действие, сформированное путем повторения, характеризующееся высокой степенью освоения и отсутствием поэлементной сознательной регуляции и контроля. Различают навыки перцептивные, интеллектуальные, двигательные. Интеллектуальный навык - автоматизированный прием, способ решения встречавшейся ранее задачи». Кузнецов В.И. дает такое определение в [41, с.37]: «под навыками понимают автоматизированные компоненты сознательной деятельности, вырабатывающиеся в процессе её выполнения. Навыки становятся автоматическими в результате более или менее длительного упражнения». Из выше перечисленных определений можно сделать вывод, что навык - это действие, доведенное до автоматизма в результате многократных упражнений. В ряде исследований [6], [12] раскрываются основные положения системы формирования вычислительного навыка. Особое внимание было уделено работе М.А. Бантовой, посвящённой изучению данной темы. Раскроем суть вычислительного приёма. Пусть надо сложить числа 8 и 6. Приём вычисления для этого случая будет состоять из ряда операций: 1. замена числа 6 суммой удобных слагаемых 2 и 4; 2. прибавление к числу 8 слагаемого 2; 3. прибавление к полученному результату, к числу 10, слагаемого 4. Здесь выбор операций и порядок их выполнения определяется соответствующей теоретической основой приёма - применением свойства прибавления к числу суммы (сочетательное свойство): замена числа 6 суммой удобных слагаемых, затем прибавление к числу 8 последовательно каждого слагаемого. Кроме того, здесь используются и другие знания, например, при выполнении первой операции используется знание состава чисел первого десятка: 10=8+2 и 6=2+4. Для большей наглядности структуру вычислительного приема мы представили в виде схемы: Таким образом, можно сказать, что приём вычисления над данными числами складывается из ряда последовательных операций, выполнение которых приводит к нахождению результата требуемого арифметического действия над этими числами; причём выбор операций в каждом приёме определяется теми теоретическими положениями, которые используются в качестве теоретической основы. В большинстве случаев уже в начальных классах школы для нахождения результата арифметического действия можно использовать в качестве теоретической основы различные теоретические положения, что приводит к разным приёмам вычислений. Например: 1. 156=15+15+15+15+15+15=90; 2. 156=(10+5)6=106+56=90; 3. 156=15(23)=(152)3=90. Теоретической основой для выбора операций, составляющих первый из приведённых приёмов, является конкретный смысл действия умножения; теоретической основой второго приёма - свойство умножения суммы на число, а третьего приёма - свойство умножения числа на произведение. Операции, составляющие приём вычисления, имеют разный характер. Многие из них сами являются арифметическими действиями. Эти операции играю особую роль в процессе овладения вычислительными приёмами: выполнение приёма в свёрнутом плане сводится к выделению и выполнению именно операций, являющихся арифметическими действиями. Поэтому операции, являющиеся арифметическими действиями, можно назвать основными. Например, для случая 164 основными будут операции: 104=40, 64=24, 40+24=64. Все другие операции - вспомогательные. Число операций, выполняемых при нахождении результата арифметического действия, может сокращаться по мере овладения приемом. Например, для случаев вида 8+2 на начальной стадии формирования навыка ученик выполняет три операции: замена числа 2 суммой 1 и 1, прибавление числа 1 к 8 , прибавление числа 1 к результату, к 9. Однако после заучивания таблицы сложения ученик выполняет одну операцию - он сразу связывает числа 8 и 2 с числом 10. Как видим, здесь прием как бы перерастает в другой. Общеизвестно, что теоретической основой вычислительных приёмов служат определения арифметических действий, свойства действий и следствия, вытекающие из них. Имея это в виду и принимая во внимание методический аспект, можно выделить группы приёмов в соответствии с их общей теоретической основой. Существуют различные классификации вычислительных приёмов. Рассмотрим более детально классификацию вычислительных приёмов, предложенную Бантовой М.А., основанием которой является общность теоретической основы вычислительных приёмов, изучаемых в начальных классах. Данную классификацию мы представили в виде таблицы [6]. Таблица 1. Классификация вычислительных приёмов по общности теоретической основы
Как видим, все вычислительные приёмы строятся на той или иной теоретической основе, причём в каждом случае учащийся осознают сам факт использования соответствующих теоретических положений, лежащих в основе вычислительных приёмов. Это реальная предпосылка овладения учащимися осознанными вычислительными навыками. Общность подходов каждой группы - есть залог овладения учащимися обобщёнными вычислительными навыками. Вычислительный навык - это высокая степень овладения вычислительными приёмами. Приобрести вычислительный навык - значит, для каждого случая знать какие операции и в каком порядке следует выполнять, чтобы найти результат арифметического действия, и выполнять эти операции достаточно быстро. В качестве сформированности полноценного вычислительного навыка можно выделить следующие критерии: правильность, осознанность, рациональность, обобщённость, автоматизм и прочность. Вместе с тем, учитывая, что ученик при выполнении вычислительного приёма должен отдавать отчёт в правильности и целесообразности каждого выполненного действия, то есть постоянно контролировать себя, соотнося выполняемые операции с образцом - системой операций, мы относим к основным критериям и степень овладения умением контролировать себя при выполнении вычислительного приёма. О сформированности любого умственного действия можно говорить лишь тогда, когда ученик сам, без вмешательства со стороны, выполняет все операции приводящие к решению. Нами были выделены и представлены в таблице уровни и критерии сформированности вычислительного навыка [19, С. 7-9]. Таблица 2. Критерии и уровни сформированности вычислительного навыка
Методика работы над каждым отдельным приемом предусматривает ряд этапов [19, С.10-13]. 1. Подготовка к введению нового приема. На этом этапе обеспечивается готовность к усвоению вычислительного приема. Учащиеся должны понять те теоретические положения, на которых основывается вычислительный прием, а также овладеть каждой операцией составляющей его. Чтобы обеспечить соответствующую подготовку, надо проанализировать прием и установить, какими знаниями должен овладеть ученик и какие вычислительные навыки он уже приобрел. 2. Ознакомление с вычислительным приемом. На этом этапе ученики осваивают вычислительный прием: какие операции надо выполнять, в каком порядке и почему именно так и можно найти результат арифметического действия. При введении большинства вычислительных приемов целесообразно использовать наглядность. 3. Закрепление приема и выработка вычислительного навыка. На этом этапе учителю важно предусмотреть ряд стадий становления у детей вычислительных навыков. а) закрепление знания приема: учащиеся самостоятельно выполняют все операции, составляющие его, комментируя каждое действие вслух и одновременно производя развернутую запись, если она была предусмотрена на предыдущем этапе. б) частичное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют их, обосновывают выбор и порядок работы, вслух же проговаривают выполнение основных действий, т.е. промежуточных вычислений. в) полное свертывание выполнения операций: учащиеся про себя выделяют и выполняют все действия, т.е. происходит свертывание основных операций. г) предельное свертывание выполнения операций: учащиеся производят все действия в свернутом виде, предельно быстро, т.е. овладевают вычислительными навыками. Это достигается в результате выполнения достаточного числа тренировочных упражнений. Стоит отметить, что на всех стадиях формирования вычислительного навыка решающую роль играют упражнения на применение вычислительных приемов, причем содержание заданий должно подчиняться целям, которые ставятся на соответствующих стадиях. Важно, чтобы: · было достаточное число упражнений при отработке вычислительного навыка; · они были разнообразными как по числовым данным, так и по форме; · в заданиях предусматривались аналогии и предлагались упражнения на сравнение приемов, сходных в том или ином отношении. [19, C. 13]. Названные стадии не имеют четких границ: одна постепенно переходит в другую. Надо иметь ввиду, что свертывание выполнения операций не у всех учащихся происходит одновременно, поэтому важно время от времени возвращаться к полному объяснению и развернутой записи. Продолжительность каждой стадии определяется сложностью приема, подготовленностью учащихся и поставленными целями. Навык складывается неравномерно (для него характерна остановка, задержка). Это связано с утомлением, потерей интереса, ухудшением методических приемов, изменением обстановки, новыми трудностями. На формирование навыка влияют индивидуальные особенности школьника. Большое значение имеет его отношение к данной деятельности. Трудно выработать навык у ребенка, если он считает, что соответствующая деятельность ему совершенно не нужна. Также влияет изменение работоспособности в течение недели (в какой день проводятся упражнения), времени суток (утром, днем или вечером). Поэтому овладение новыми и сложными навыками лучше начинать в первой половине дня средних дней недели, а повторение проводить в другое время. Навыки могут ослабляться, что происходит вследствие их не использования на практике, отсутствия систематичности, из-за длительных перерывов в повторениях, болезни, переутомления. Быстро утрачиваются сложные, недостаточно закрепленные навыки. Педагогу следует учитывать это при решении вопроса о поддержании и сохранении навыка. Для восстановления навыка требуется вновь повторить соответствующие упражнения. Не следует считать, что овладение навыком достигается путем проб и ошибок на основе механической тренировки. Научные данные и практика показывают, что механическая выработка навыка идет в несколько раз медленнее, чем сознательная (с упором на понимание сути действий, характера допускаемых ошибок, их причин и так далее). По нашему мнению, вычислительный навык можно считать эффективным, если в рамках данного способа вычислений получение правильного результата достигается минимизацией затрат умственных ресурсов. Т.е. ученик, используя различные знания, может выбрать не обязательно более рациональный вычислительный прием с точки зрения методики, а более удобный (легкий) для него в конкретной ситуации, быстрее других приводящий к результату. Формирование вычислительных умений и навыков - сложный длительный процесс, эффективность которого во многом зависит от индивидуальных особенностей ребенка, уровня его подготовки и способов организации вычислительной деятельности. Необходимо выбирать такие способы организации вычислительной деятельности младших школьников, которые способствуют не только формированию прочных осознанных вычислительных умений и навыков, но и всестороннему развитию личности ребенка. На сегодняшний день, работая в любой системе обучения, учитель может и должен организовать работу по формированию вычислительных умений и навыков у учащихся таким образом, чтобы удовлетворить всем вышеперечисленным требованиям современной школы [5, C. 68]. Таким образом, в данном параграфе мы рассмотрели понятие навыка, выделили вычислительные, охарактеризовали их качества, особенности формирования. Рассмотрели вычислительные приемы как теоретическую основу формирования вычислительных навыков, описали критерии их сформированности. 1.3 Методические приемы формирования вычислительных навыков письменного сложения и вычитания в начальном курсе математики 1.3.1 Методика формирования письменных приемов сложения и вычитания, подготовительная работа Сложение однозначных чисел можно выполнить, основываясь на определении этого действия, но чтобы всякий раз не обращаться к определению, все суммы, которые получаются при сложении однозначных чисел, записывают в особую таблицу, называемую таблицей однозначных чисел, и запоминают. Естественно, смысл сложения сохраняется и для многозначных чисел, но практическое выполнение сложения происходит по особым правилам. Сумму многозначных чисел обычно находят, выполняя сложение столбиком. При сложении и вычитании многозначных чисел в основе действий учащихся лежит алгоритм сложения, и, соответственно, вычитания [52, С.176] Рассмотрим теоретические основы выполнения письменного сложения и вычитания. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические положения лежат в его основе. Представим слагаемые 341 и 7238 в виде суммы степеней десяти с коэффициентами: Раскроем скобки в полученном выражении, поменяем местами и сгруппируем слагаемые так, чтобы единицы оказались рядом с единицами, десятки с десятками и т.д. Все эти преобразования можно выполнить на основании соответствующих свойств сложения. Свойство ассоциативности разрешает записать выражение без скобок: На основании свойства коммутативности поменяем местами слагаемые: Согласно свойству ассоциативности произведем группировку: Вынесем за скобки в первой выделенной группе число 102 , а во второй - 10 . Это можно сделать в соответствии со свойством дистрибутивности умножения относительно сложения: Итак, сложение данных чисел 341 и 7238 свелось к сложению однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов. Эти суммы находим по таблице сложения: Полученное выражение есть десятичная запись числа 7579. Видим, что в основе алгоритма сложения многозначных чисел лежат следующие теоретические факты: - способ записи чисел в десятичной системе счисления; - свойства коммутативности и ассоциативности сложения; - дистрибутивность умножения относительно сложения; - таблица сложения однозначных чисел. Не трудно убедиться в том, что в случае сложения чисел «с переходом через десяток» теоретические основы алгоритма сложения будут теми же. Рассмотрим, например, сумму 748+436. Представим слагаемые в виде суммы степеней десяти с соответствующими коэффициентами: Воспользуемся свойствами сложения и дистрибутивностью умножения относительно сложения и преобразуем полученное выражение к такому виду: Видим, что в этом случае сложение данных чисел также свелось к сложению однозначных чисел, но суммы 7+4, 8+6 превышают 10 и поэтому последнее выражение не является десятичной записью числа. Необходимо сделать так, чтобы коэффициенты перед степенями 10 оказались меньше 10. Для этого выполним ряд преобразований. Сначала сумму 8+6 представим в виде Затем воспользуемся свойствами сложения и умножения и приведем полученное выражение к виду: Суть последнего преобразования такова: десяток, который получился при сложении единиц, прибавим к десяткам данных чисел. И наконец, записав сумму 7+4 в виде, получаем: Последнее выражение есть десятичная запись числа 1184. Следовательно, 748+436=1184 Выведем алгоритм письменного сложения многозначных чисел в общем виде: 1. Записывают второе слагаемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг за другом. 2. Складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти записывают ее в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков). 3. Если сумма единиц больше или равна десяти, то представляют ее в виде: aо+ bо= 1·10 + со, где со -- однозначное число; записывают со в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков. 4. Повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то приписываем впереди обоих слагаемых нули, увеличиваем нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняем сложение 1+0=1 Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой» [52, С. 177-179] Алгоритм вычитания. Вычитание однозначного числа b из однозначного числа a, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел [52, С. 180] Если же числа a и b многозначные и b < a , то смысл действия вычитания остается тем же , что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе. Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: Чтобы вычесть из числа сумму , достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда: Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число 2Ч102 вычтем из слагаемого 4Ч102 , число 3Ч10 - из слагаемого 8Ч10 , а число 1 -из слагаемого 5, тогда: Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4 - 2 )Ч+ (8 - 3)Ч10 + (5--1) Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности находим по таблице сложения и получаем выражение: , которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485 - 231 = 254. Выражение задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком: Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на: - способе записи числа в десятичной системе счисления; - правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа; - свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания; - таблице сложения однозначных чисел. Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим эту разность в таком виде: Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц - десятичная система счисления позволяет это сделать - тогда будем иметь выражение: Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434 [52, С. 180-182]. Описанный процесс позволяет сформулировать в общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления. 1. Записываем вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом. 2. Если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитаем ее из цифры уменьшаемого, записываем разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходим к следующему разряду. 3. Если же цифра единиц вычитаемого больше единиц уменьшаемого, т.е b0 > a0 , а цифра десятков отлична от нуля, то уменьшаем цифру десятков уменьшаемого на 1, одновременно увеличив цифру единиц уменьшаемого на 10, после чего вычитаем из числа 10 + a0 число b0 и записываем разность в разряде единиц искомого числа, далее переходим к следующему разряду. 4. Если цифра единиц вычитаемого больше цифры единиц уменьшаемого, стоящие в разряде десятков, сотен и т.д. уменьшаемого, равны нулю, то берем первую отличную от нуля цифру в уменьшаемом (после разряда единиц), уменьшаем ее на 1, все цифры в младших разрядах до разряда десятков включительно увеличиваем на 9, а цифру в разряде единиц на 10: вычитаем во из 10 + a0 , записываем разность в разряде единиц искомого числа и переходим к следующему разряду. 5. В следующем разряде повторяем описанный процесс. 6. Вычитание заканчивается, когда производится вычитание из старшего разряда уменьшаемого [24, С. 119-121]. Безусловно, младшие школьники не могут усвоить алгоритмы письменного сложения и вычитания в общем виде. Но учителю х знать необходимо. Это позволит ему: a) при ознакомлении учащихся с алгоритмом правильно организовать подготовительную работу; b) управлять деятельностью школьников, направленной на усвоение алгоритма; c) в упражнениях на закрепление алгоритма учитывать все возможности его использования. Деятельность учащихся, направленная на формирование навыков письменного сложения и вычитания, может быть организована по-разному. Например, в учебнике Математики под редакцией М.И. Моро и т.д. (издания до 1987 г.) учащиеся знакомятся с приемами письменного сложения и вычитания в концентре «Тысяча», а в учебниках, начавших издаваться после 1987 г., им показывали, как складывать и вычитать «в столбик» уже двузначные числа. Для этой цели использовался образец действий. Например, Объясни решение примера: 49+23=49+(20+3)=69+3=72. Решение можно записать в столбик. Объяснение: 1. Пишу… 2. Складываю единицы: 9+3=12. 12- это 1 дес. и 2 ед.: пишу под единицами2, а 1 дес. запоминаю и прибавляю к десяткам. 3. Складываю десятки: 4+2=6; 6 6 да еще 1, получится 7. Пишу 7 под десятками. 4. Читаю ответ: сумма равна 72. Аналогичный комментарий дан к записи вычитания «в столбик». Введение письменного сложения и вычитания двузначных чисел было по-разному воспринято учителями. Одни считали, что выполнение действий «в столбик» окажет негативное влияние на формирование навыков устных вычислений. Другие отнеслись к этому положительно, так как при устном сложении и вычитании двузначных чисел с переходом через разряд учащимся приходится пользоваться приемами вычислений, содержащих большое количество операций. Это требует напряжения памяти и внимания, из-за чего не все могут справиться с вычислительной задачей. В случае же письменного сложения алгоритмическое предписание не имеет четкую и краткую форму, а значит, более доступную детям. Вряд ли можно согласиться с точкой зрения тех учителей, которые считают, что запись сложения и вычитания «в столбик» оказывает негативное влияние на формирование вычислительных навыков, так как при выполнении письменных вычислений учащиеся постоянно используют навыки сложения (вычитания) в пределах 10 и 20. Поэтому проблема не в том, когда познакомить школьников с алгоритмом письменного сложения и вычитания, а в том, как продуктивнее организовать их деятельность, направленную на усвоение алгоритма [24, С. 122]. Усвоение письменных приемов сложения и вычитания в пределах 1000 является условием успешного применения их к числам любой величины. Сначала изучают письменные приемы сложения, а затем вычитания. Подготовительную работу к изучению темы начинают еще при изучении нумерации в концентре «Тысяча»: повторяют устные приемы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются, сложение и вычитание разрядных чисел с пояснениями (3 сот. 5 дес. +4 сот. 7 дес. = 7 сот. 12 дес. = 8 сот. 2 дес.). Рассмотрение случаев письменного сложения и вычитания строится по принципу «от простого к сложному». Сначала алгоритм сложения применяется для случаев сложения без перехода через разряд:
Затем рассматриваются случаи, когда при сложении разрядных единиц получается число, равное 10 единицам, или при сложении разрядных десятков - число, равное 10 десяткам:
Затем случаи с переходом через разряд, через 2 разряда. Например:
Аналогичный принцип соблюдается при использовании алгоритма вычитания. Например:
Приемы письменного сложения и вычитания многозначных чисел изучаются одновременно. Подготовительную работу начинают еще при изучении нумерации многозначных чисел: повторяют устные приемы сложения и вычитания и свойства действий, на которые они опираются (8 400+600, 9 800-700, 2 000-1700, 740 000-160 000 и т.п.); повторяют письменные приемы сложения и вычитания трехзначных чисел с пояснениями (6 сот. + 7 сот. = 13 сот. = 1 тыс. 3 сот.) [24, С. 12]. При ознакомлении с письменным сложением и вычитанием многозначных чисел учащиеся решают примеры, где каждый последующий включает в себя предыдущий, например:
После решения таких примеров учащиеся делают вывод, что письменное сложение и вычитание многозначных чисел выполняют так же, как и письменное сложение и вычитание трехзначных чисел. Далее случаи сложения и вычитания вводятся с нарастающей трудностью, постепенно увеличивается число переходов через разрядную единицу; включаются случаи вычитания, когда в уменьшаемом содержатся нули; изучается сложение и вычитание именованных чисел. Знакомясь с новыми случаями, дети сначала дают подробные пояснения вычислений. После того, как дети усвоят прием вычисления, переходят к сокращенным пояснениям решения. Краткие пояснения способствуют выработке навыков быстрых вычислений [4, С. 78-79]. Необходимо уделить внимание случаям вычитания, в которых последовательное раздробление высшего разряда выполняется неоднократно.
В данном случае, ученик будет рассуждать так: из нуля единиц не можем вычесть 8 единиц. Берем 1 сотню (точку над сотнями) и раздробляем сотню в десятки. В 1 сотне 10 десятков, берем из 10 десятков 1 десяток. Раздробляем десяток в единицы (10 единиц). Из 10 единиц вычитаем 8, получается 2 единицы. Из 9 десятков вычитаем 0 десятков, получается 9 десятков. Из нуля сотен не можем вычесть 7 сотен. Берем 1 сотню тысяч, раздробляем ее в десятки тысяч, получаем 10 десятков тысяч, из них берем 1 десяток тысяч и раздробляем его в единицы тысяч и т.д. Позднее приводим краткое сокращенное пояснение: берем 1 сотню, из 10 вычитаем 8 получится 2; из 9 вычитаем ноль, получится 9; берем 1 сотню тысяч, из 10 вычитаем 7, получится 3; из 9 вычтем 5, получится 4; из 9 вычтем 0, получится 9; из 3 вычтем 2, получится 1; разность 194 392. Помимо упражнений, данных в учебнике, необходимо проводить подготовительную работу. Содержание ее может быть представлено упражнениями вида: 1. Отсчитайте от сотни палочек одну палочку, две палочки. 2. Замените сотню десятками и единицами . 3. Уменьшите 100, 300, 700 на 1, на 2, на 3. 4. Какое число предшествует при счете числу 200, числу 700? 5. Замените 1000 сотнями и десятками; сотнями, десятками и единицами. 6. Замените десяток тысяч тысячами и сотнями, тысячами, сотнями и десятками; тысячами, сотнями, десятками и единицами. 7. Замените сотню тысяч десятками тысяч, тысячами и сотнями. 8. Какое число предшествует при счете числам 7000, 20000, 500000? 9. Уменьшите на 5 единиц 6000, 40000, 600000. 10. Вычислите: а) 1000 - 700 б) 100000 - 3 в) 10000 - 20 1000 - 70 100000 - 30 10000 - 200 г) 1000 - 7 100000 - 300 10000 - 2 д) 100000 - 3000 Наиболее трудные случаи вычитания, такие как: 700 - 261 , 70000 - 3257, 700000 - 302007, 701006 - 32057, и т.д. изучаются в 4-ом классе. Этим объясняется целесообразность продолжения и углубления подготовительной работы, начатой в 3-ем классе. В качестве наглядной основы используем счеты. Для примера покажем один из вариантов выполнения задания из учебника математики, в котором требуется отложить на счетах число 100 тысяч и определить, какое число непосредственно предшествует ему при счете. Здесь уместно сочетать наблюдения учащихся за работой учителя на демонстрационных счетах с их практической работой на индивидуальных. Предлагаем отложить число 100 тысяч на счетах (на шестой проволоке счетов появляется одна косточка). Вспоминаем, как найти число, непосредственно предшествующее какому-нибудь числу при счете (отсчитать от него единицу). Уточняем, на какой проволоке счетов откладываются единицы (на первой). Задаем вопрос, как с шестой проволоки попасть на первую, чтобы отсчитать единицу. При затруднении предлагаем учащимся спускаться постепенно с проволоки на проволоку. Чтобы спуститься с шестой проволоки на пятую, заменяем 100 тысяч, т.е. 1 сотню тысяч на 10 десятков тысяч, и 10 косточек откладываем на пятой проволоке. Из десятков тысяч 9 тысяч (т.е. 9 косточек) оставляем, а 1 десяток тысяч (т.е. одну косточку) заменяем десятью единицами тысяч и откладываем десять косточек на четвертой проволоке. Продолжая аналогично рассуждать и откладывать косточки на счетах, мы получаем на первой проволоке 10 косточек (10 единиц). Обращаем внимание на то, что 1 сотню тысяч мы заменили на 9 десятков тысяч 9 сотен 9 десятков и 10 единиц. Отсчитываем 1 единицу (сбрасываем с первой проволоки счетов одну косточку), остается 9. Теперь читаем число, которое отложилось на счетах: девятьсот девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять. (999999). Продолжением такой работы является выполнение задания, где требуется назвать и записать, между какими числами встречается при счете каждое из следующих чисел: 100, 1000, 10000, 100000, 300, 800, 30000, 700000. Кроме того, снизить уровень указанных трудностей помогает ориентация на осознание учащимися, как общего алгоритма вычитания, так и особенностей его применения в рассматриваемых частных случаях. Поэтому надо учить детей сопровождать вычисления подробными пояснениями, показывающими, что, в какой последовательности и для чего нужно делать. Покажем характер таких пояснений на следующем примере. Пусть требуется из 701006 вычесть 32057. Из единиц мы не можем вычесть 7 единиц, поэтому обратимся к высшим разрядным единицам, чтобы, заменив их на низшие, получить простые единицы. Так как в уменьшаемом десятков 0 и сотен 0, возьмем 1 тысячу (ставим над разрядом тысяч точку) и заменим ее девятью сотнями девятью десятками и десятью единицами (ведь из тысяч нужно выделить единицы). К 10 единицам прибавим 6, получим 16 единиц. Из 16 единиц вычтем 7 единиц, получим 9 единиц, которые записываем под единицами. Далее аналогично из 9 десятков вычитаем 5 десятков и из 9 сотен вычитаем 0 сотен. Теперь нужно вычитать тысячи, но тысяч осталось 0 (из 0 тысяч нельзя вычесть 2 тысячи), и десятков тысяч в уменьшаемом тоже 0, поэтому возьмем из 7 сотен тысяч 1 сотню тысяч (ставим над этим разрядом точку)и заменим ее девятью десятками тысяч и десятью тысячами, так как из сотен тысяч нужно выделить тысячи. Вычитаем из 10 тысяч 2 тысячи, из 9 десятков тысяч 3 десятка тысяч и результаты пишем под соответствующими разрядами. Сотен тысяч у нас осталось 6, из них ничего не вычитается, поэтому число 6 записываем под сотнями тысяч. По мере усвоения приема вычитания учащиеся постепенно переходят от подробных рассуждений к более кратким. Они поясняют лишь те шаги алгоритма, которые могут затруднить их при вычитании. Сокращение пояснения к его решению таковы: из 6 единиц мы не можем вычесть 7, поэтому берем 1 тысячу и заменяем ее девятью сотнями девятью десятками и десятью единицами. Из 16 вычитаем 7, получаем 9, из 9 десятков вычитаем 5, получаем 4, из 9 сотен вычитаем 0, получаем 9. Из 0 тысяч нельзя вычесть 2. Берем 1 сотню тысяч и заменяем ее на 9 десятков тысяч и 10 тысяч. Из 10 вычитаем 2, получаем 8, из 9 вычитаем 3, получаем 6. Оставшиеся 6 сотен тысяч записываем в результат. И, наконец, ограничиваемся лишь следующими пояснениями: из 16 вычитаем 7, получаем 9, из 9 вычитаем 5, получаем 4 и т.п. Таким образом, предлагаемая система подготовительных упражнений с методикой их выполнения и последовательность работы по изучению приема вычитания многозначных чисел с нулями в уменьшаемом обеспечивает формирование навыков осознанных и быстрых вычислений указанного вида. 1.3.2 Типичные ошибки при выполнении сложения и вычитания над многозначными числами и работа по их предупреждению Освоив все арифметические действия, поняв и выучив таблицу сложения, овладев традиционными способами проверки, дети все же допускают достаточно большое количество ошибок при решении примеров. Такое положение можно исправить, если после изучения каждого арифметического действия несколько уроков посвятить работе, содержащей различные задания, в которых будут формироваться навыки самоконтроля, где ребенку необходимо будет найти типичную ошибку и исправить её. Уроки желательно строить таким образом, чтобы дети не боялись рассуждать, давать самооценку своим действиям, показать свое непонимание [60]. Изучив психолого-педагогическую литературу по данной теме, мы выделили следующие виды ошибок при письменном сложении: [9, 12, 15]: 1) замена арифметических знаков при списывании математического выражения; a) 2567 вместо 2657 - перестановка цифр в числе; b) 256 вместо 2567 - пропуск цифры; c) 25567 вместо 2567 - запись лишней цифры; d) 2557 вместо 2567 - замена цифр. 1) Ошибка в записи чисел в столбик: Например,
С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа, поэтому сложили десятки с единицами, сотни с десятками, а надо числа подписывать так, чтобы единицы стояли под единицами, десятки под десятками и т.д., и складывать единицы с единицами, десятки с десятками и т.д. Кроме того, нужно научить учеников проверять решение примеров. Названную ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Так, в отношении приведенного примера на сложение рассуждение ученика будет таким: «К 5 сотням прибавили число, которое меньше 1 сотни, а в сумме получили 9 сотен, значит в решении допущена ошибка». 2) Ошибка в постановке знака: знак «плюс», а ученик вычитает, или наоборот ученик складывает пример со знаком «--». Эта ошибка особенно характерна для случаев, когда у ученика не сформировано понятие знака и соответствующего ему арифметического действия. В данном случае, учителю необходимо провести работу по формированию этих понятий, объяснить повторно суть арифметического действия и значение знака между числами того или иного выражения. 3) Ошибки при выполнении письменного сложения, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, при вычитании - единиц, которые занимали. Например: Предупреждению таких ошибок также помогает обсуждение с учениками неверно решенных примеров. После этого важно подчеркнуть, что всегда надо проверять себя - не забыли ли прибавить число, которое надо было запомнить, и не забыли ли о том, что занимали единицы какого-то разряда. Выявлению таких ошибок самими учениками помогает выполнение проверок сложения вычитанием и вычитания сложением. Полезно также в первое время надписывать сверху соответствующего разряда при сложении - число, которое надо было запомнить, и при вычитании - число, которое осталось после того, как заняли. Заметим, что в некоторых методических пособиях и статьях для предупреждения названных ошибок в письменном сложении с переходом через десяток рекомендуется начинать сложение с единиц, которые запоминали. Например, при решении приведенного примера ученик тогда должен рассуждать: «К девяти прибавить пять, получится 14, четыре пишем, а 1 запоминаем: 1 да 3 - четыре, да 2, всего 6» и т.д. Этого делать не следует, потому что некоторые ученики переносят этот прием на письменное умножение, что вызовет ошибку, например при умножении чисел 354 и 6 они рассуждают так: «4 умножить на 6, получится 24, четыре пишем, два запоминаем; 2 да 5 - 7, семь умножить на шесть, получится 42» и т.д. 4) неправильно определили количество цифр в сумме или в разности: Данная ошибка, скорее всего, будет связана с ошибкой, описанной под пунктом 3, то есть ученик неверно подписал компоненты сложения или вычитания в столбик. С целью предупреждения подобных ошибок надо обсуждать с учениками такие неверные решения, в результате чего они должны заметить, что в данном примере неверно подписаны числа. Ошибку легко обнаружить, выполнив проверку способом прикидки результата. Как показывают наблюдения, усвоение учащимися алгоритмов письменных вычислений происходит с определенными затруднениями. Аналогичные затруднения испытывают учащиеся и при вычитании многозначных чисел. Они, как правило, усваивают общий алгоритм вычитания, но затрудняются применять его в частном случае, когда уменьшаемое в записи содержит нули. Наблюдаются, например, такие ошибочные решения:
Несмотря на то, что ошибки в первом и втором примерах отличаются от ошибок в третьем и четвертом примерах, причина их возникновения одна - неумение заменять единицу высшего разряда единицами более низшего разряда, т.е. учащиеся затрудняются представлять один десяток тысяч как 9 тысяч 9 сотен и 10 десятков. Они же раскладывают 1 десяток тысяч либо на 9 тысяч 9 сотен и 9 десятков, либо на 10 тысяч 9 сотен и 10 десятков, либо на 10 тысяч 10 сотен и 10 десятков. Предупредить указанные ошибки можно, если при изучении темы «Нумерация многозначных чисел» уделить особое внимание выполнению упражнений по замене единиц высшего разряда единицами низших разрядов. В данном параграфе нами были рассмотрены и описаны типичные ошибки учащихся при выполнении письменного сложения и вычитания, также пути их предупреждения. Особую роль в предупреждении ошибок и формировании навыков письменного сложения и вычитания играют занимательные задания с элементами самоконтроля, прием «прикидки результата», тренировочные задания, а также приёмы самоконтроля. Более подробно данные элементы учебного процесса описаны нами в следующем параграфе. сложение вычитание навык письменный 1.3.3 Приемы самоконтроля, занимательные задания, тренировочные упражнения как способы устранения и предупреждения типичных вычислительных ошибок учащихся Несмотря на изменение образовательной парадигмы, ориентацию на деятельностный подход, наличие большого количества разнообразных учебников и пособий, одной из главных задач обучения математике в начальных классах было и остается формирование у учащихся прочных осознанных вычислительных навыков. Именно ни их основе становится возможным изучение базовых математических понятий в основной школе. Наличие хороших вычислительных навыков у учащихся к 5 классу является залогом дальнейшего успешного обучения. В последнее время все чаще заходит речь не только о наличии у учеников предметных знаний, умений и навыков, но и о развитии элементов математической культуры. По мнению специалистов в области методики преподавания математики, о ее характере можно судить по умениям: · производить устные и письменные вычисления; · рационально организовать ход вычислений; · убеждать в правильности полученных результатов. Осознанные вычислительные навыки не только являются составной частью вычислительной культуры ребенка. Они служат необходимым условием ее совершенствования на протяжении всего процесса освоения математики как в школе, так и в дальнейшей учебной деятельности. В связи с этим на плечи учителя ложится трудная и ответственная задача по развитию прочных вычислительных навыков [19]. Алгоритмы сложения и вычитания в столбик, усвоенные учащимися в начальных классах, используются на протяжении всех лет обучения математике в средней школе. Качество усвоения этих алгоритмов в значительной степени зависит от того, насколько ясно они представлены ученикам. Важную роль при этом играет использование рациональных приемов формирования навыков письменного сложения и вычитания. А.А. Столяр и В.Л. Дрозд к приемам формирования навыков письменных вычислений отнесли: · тренировочные упражнения; · занимательные задания; · приемы самоконтроля (проверка, прикидка результата, особенность записи результатов при вычислениях); Рассмотрим данные приемы подробнее. Использование учителем тренировочных упражнений, безусловно, является важным приемом формирования у учащихся прочных вычислительных навыков. По теме «Письменное сложение и вычитание» авторами учебников используются разнообразные упражнения, которые позволяют закрепить ранее изученный вычислительный прием. В учебниках М.И. Моро «Математика» в период обучения теме «Письменное сложение и вычитание» после каждого изученного вычислительного приема даются упражнения на закрепление навыка. Например: Реши примеры, записывая столбиком. 124 + 658; 487 + 150; 884 - 695; 536 - 81 Вычисли: 36 дес. + 8 дес.; 65 сот. + 7 сот.; 8 дес. + 5 дес. + 3 дес. Вставь пропущенные числа: 27 = …дес.+…ед. 73 дес. = …сот. + …дес. 19 = …дес. + … ед. 93 дес. = …сот. + …дес. В учебниках Т.Е Демидовой встречается много заданий с алгоритмами, которые также можно использовать на уроках формирования вычислительных навыков. Приведем 2 примера таких заданий: Расшифруй слова, расположив результаты действий в порядке возрастания.
Такие упражнения по формированию навыка самоконтроля усиливают ответственность у учащихся при выполнении заданий, приучают их работать без ошибок, а при выявлении - тут же их исправлять, и активизируют процесс обучения, пробуждают интерес к занятиям. Особенностью младшего школьного возраста является недостаточная сформированность качеств внимания, таких как устойчивость и продуктивность. Учителю необходимо учитывать данную особенность при изучении учебного материала. В связи с этим, при организации уроков закрепления изученного, учителю необходимо подбирать такие задания, которые могут заинтересовать учащегося, быть занимательными, и в то же время выполнять свою дидактическую функцию. Многочисленные факты и наблюдения, связанные с уроками математики, свидетельствуют, что в педагогической практике выработке у каждого ученика необходимых навыков контроля и самоконтроля уделяется крайне недостаточное внимание, а нередко и просто игнорируется. Обучение контролю и самоконтролю должно найти место при объяснении нового материала и его закреплении, что будет сообщать процессу формирования вычислительных навыков высокую эффективность, делать их осознанными, прочными, безошибочными и способными к широкому переносу на более сложные вычислительные приемы. Наилучших результатов в выработке умений контроля и самоконтроля при формировании вычислительных навыков добиваются те учителя, которые предусматривают и осуществляют эту работу непосредственно на самом уроке. Выполнение различного рода заданий на уроках математики можно организовать так, что ученик, сделав ошибку, сам обнаружит ее, сам (или с помощью дополнительной информации) исправит ее и подойдет к следующему этапу работы только после полного усвоения предыдущего материала, выполнив таким образом задание только правильно. Это произойдет в том случае, если у ребенка сформирован навык самоконтроля. Поэтому педагогу очень важно при ознакомлении с вычислительным навыком, закреплении или повторении давать задания с элементами самоконтроля. К заданиям, формирующим самоконтроль, относятся такие, которые требуют оценить чье-либо решение, найти ошибку. Пример задания: 1) Незнайка выполнил сложение так:
Какие замечания сделал бы Знайка? Найдите ошибки в решении Незнайки, если они есть, и исправьте их. Посоветуйте Незнайке, на что нужно обратить особое внимание при сложении многозначных чисел. Такого рада задания можно использовать на уроке математики не только при первичном закреплении и самоконтроле, но и при открытии детьми нового знания. 1) Придумай задания с «ловушками» для своего соседа. Учащимся нравится придумывать задания с «ловушками» и самим находить «ловушки». Такого рода задание не только позволяет сформировать вычислительные навыки, ведь для того чтобы придумать задание с «ловушкой», ученик должен знать правильное решение примера, предугадать возможную ошибку при его решении, но также развивает познавательные процессы ребенка, в частности, воображение и мыслительные процессы. Игра «Число - контролер». Ученики получают карточки с примерами:
И подсказку: Сложите ответы всех выражений, в сумме должно получиться 241000. Психологическая установка на взаимный контроль и самоконтроль при обучении математике станет более действенной, если использованные игры, задания не только способствовали формированию у учеников определенных умений и навыков, но и развивали их. Игра «Лесенка». Каждой паре учеников дается одна карточка с примерами:
Примеры составлены таким образом, что ответ одного является началом другого. Ответ каждого примера учащиеся записывают на соответствующей ступеньке. Чтобы ученики могли проверить, правильно ли они выполнили задание, учитель, давая инструкцию к его выполнению, сообщает прием самоконтроля. Этот прием ученики используют в процессе своей деятельности (ответ одного примера является началом другого, конечный результат равен первому). Аналогичной данной игре, является задание, которое можно давать ученикам в процессе изучения приемам как устных, так и письменных вычислений. Это так называемые круговые примеры, представляющие собой серию примеров (6-12 примеров), составляемых так, что каждый следующий пример начинается с того числа, которое должно получиться в ответе предыдущего, а ответ последнего примера совпадает с началом первого. Ученик может решать эту серию примеров с любого примера. Решив пример на выбранной им карточке, ученик берет следующую карточку с таким примером, который начинается с числа, полученного в ответе предыдущего. Если ученик решает примеры правильно, то ответ последнего примера должен совпасть с начальным числом того примера, с которого ученик начал решать данную серию - круг примеров, таким образом, замыкается. Если допущена где-либо ошибка, то круг не замкнется, что служит для ученика сигналом о допущенной ошибке. Круговые примеры в русской методической литературе впервые были описаны в 1929 году [17, С. 92]. Для развития творческих способностей можно предложить ученикам самим составить такие примеры и поменяться карточками, чтобы сосед по парте решил их. После решения провести еще и взаимопроверку. Психологическая установка на взаимный контроль и самоконтроль при обучении математике станет более действенной, если использованные игры, задания не только способствовали формированию у учеников определенных умений и навыков, но и развивали их. Ниже предлагаем некоторые из таких заданий: 1. Среди чисел 2860, 2875, 20865 имеется верное значение суммы 1568+1307. Выберите его с обоснованием своего решения, а проверку сделайте вычислением данной суммы. 2. Найдите правильный ответ на вопрос: «Как можно назвать следующие натуральные числа: а) 1000; б)16985; в) 79?» Возможные ответы: - многозначное число; - четное число; - нечетное двухзначное число. При формировании вычислительных навыков можно использовать примеры - цепочки, как упражнение для развития самоконтроля. Их составил Ю.Ю. Батий [31]. Ответы для примеров - цепочек учитель записывает на доске в возрастающем или убывающем порядке. Примеры в два столбика по вариантам записывается тоже на доске. Например: Ответы для самоконтроля: 50; 70; 90; 110; 150; 170; 180; 220; 240; 250; 270; 350; 440; 590.
Решение примеров идет следующим образом: 260 - 20= 240 (ответ есть, переходим к следующему примеру); 240 -180 +30= 90 (ответ есть, переходим к следующему примеру) и т.д. В случае, если неправильный ответ совпадает с одним из правильных ответов, то в следующих примерах он не найдет подтверждения, и ученику придется вернуться к примеру и исправить ошибку. Чтобы проверить последний пример, нужно найти сумму или разность с ответом первого примера и сравнить результат с ответами для самоконтроля. В данном случае получается: (в первом варианте) 240 +350 + 590 или 350 - 240= 110. Таким же образом можно контролировать решение примеров на порядок действий. Приведем примеры занимательных заданий, которые могут быть использованы учителем в период обучения навыкам «Письменного сложения и вычитания». Игра «Шифровка». Расшифруй название сказки. Кто ее написал?
Расшифруй и отгадай загадку.
Помогите ракете набрать нужную скорость. «Ребусы». Игра «Сбежавшие цифры». Для внеклассной работы или как вид домашнего задания можно использовать решение детьми математических раскрасок (см. приложение 5). С первого класса необходимо нацеливать детей на то, что контролировать себя нужно сразу же, как только решили самостоятельно хотя бы один пример. Этим реализуется принцип немедленной проверки решения (решил пример - проверь себя; убедился, что твое решение верное - приступай к решению следующего примера). Самым распространенным способом проверки вычислений является проверка взаимообратной операцией - сложение проверяется вычитанием, и наоборот, умножение - делением, деление проверяется умножением. С правилами проверки результатов действий сложения и вычитания дети знакомятся уже во 2 классе. Сложение можно проверить вычитанием: 76 + 8 = 84. Проверка: 84 - 8 = 76. Из суммы вычли одно слагаемое, получили другое слагаемое. Значит сложение выполнено верно. Данное правило применимо к проверке действия сложения в любом концентре (при проверке вычислений с любыми числами). Вычитание можно проверить сложением: 67 - 25 = 42. Проверка: 42 + 25 = 67 К разности прибавили вычитаемое, получили уменьшаемое. Значит вычитание выполнено верно. Данное правило также применимо к проверке действия вычитания с любыми числами. В 3 классе дети знакомятся с правилами взаимосвязи компонентов сложения и вычитания, которые являются обобщением представлений ребенка о способах проверки сложения и вычитания: Если из суммы вычесть одно слагаемое, то получится другое слагаемое. 76 + 8 = 84. Проверка: 84 - 8 = 76, 84 - 76 = 8. Сложение также можно проверить сложением, для этого следует переставить слагаемые и снова их сложить. Например:
Проверка действия вычитания: Если сложить разность и вычитаемое, то получится уменьшаемое. Пример. Проверка. Если из уменьшаемого вычесть разность, то получится вычитаемое. Пример. Проверка. Типичной ошибкой учащихся при сложении и вычитании «в столбик » являются ошибки, обусловленные забыванием единиц того или иного разряда, которые надо было запомнить, при вычитании - единиц, которые занимали. Например: Как мы знаем, в основе выполнения письменных способов вычислений лежит использование правила сложения суммы с суммой. В явном виде в современных учебниках математики для начальных классов данное правило не изучается, оно заменено упрощенным вариантом правила поразрядного сложения: единицы складывают с единицами, десятки с десятками. Рассмотрим основные приемы самоконтроля, которые ребенок может использовать во избежание возможных ошибок в вычислениях. Письменный алгоритм сложения и вычитания содержит: 1. Правило записи слагаемых (или уменьшаемого и вычитаемого) при письменном сложении (вычитании): разряд записывается под соответствующим разрядом. Для выполнения данного пункта ребенок должен владеть знаниями разрядного состава чисел и соотношение разрядных единиц. Самоконтролем может служить на данном этапе наводящие вопросы, направленные на самого себя: «верно ли я записал второе слагаемое?», либо внутри проговаривать: пишу первое слагаемое (уменьшаемое), под ним второе слагаемое (вычитаемое) так, чтобы единицы были записаны под единицами, десятки под десятками, сотни - под сотнями и т.д.». Особенное это необходимо при письменных вычислениях чисел первой тысячи и многозначных чисел. 2. Указание на порядок выполнения действий: сложение (вычитание) начинается с разряда единиц (справа налево). Это является главным отличием письменных вычислений от устных. Если при устных вычислениях всегда начинают со старших разрядов и выполняют действие, двигаясь слева направо, то при письменных вычислениях всегда начинают с разряда единиц и выполняют действие, двигаясь справа налево. В данном случае ребенку достаточно усвоить данное правило алгоритма. 3. Прием добавления накапливающихся единиц старших разрядов и соответствующий разряд после выполнения основного сложения. Прием «заёма» разрядных единиц в старших разрядах при вычитании в случае нехватки единиц для выполнения действий Основной причиной ошибок, допускаемых детьми при письменных вычислениях, является то, что они забывают добавлять накапливающиеся единицы к старшему разряду (при сложении), либо теряют количество «заемных десятков» (при вычитании). Рассмотрим различные по сложности случаи сложения и вычитания приемы самоконтроля, которые можно к ним применить для профилактики ошибок. 1. Случаи сложения с одним переходом через один разряд. Примеры: 356 + 272, 338 + 23. В данном случае ученик должен хорошо владеть таблицей сложения в пределах 20, а также не забыть необходимости сложения накопившейся единицы к соответствующему разряду. Для самоконтроля может быть использовано число, надписанное над соответствующим разрядом, к которому следует прибавить накопившуюся единицу. Например:
На данном примере видно, что при сложении десятков получилось число 12, по алгоритму ребенок рассуждает так: 5 дес. + 7 дес. Получается 12 дес.; 2 пишу, 1 запоминаю. Чтобы не забыть про накопившуюся единицу 1, ученик может надписать её над единицей сотен. 2. Случаи сложения с двумя переходами через разряд: Приём самоконтроля может быть использован аналогичный. Покажем на конкретном примере:
На данном примере мы видим, что при сложении единиц, получилось число, превышающее 10, и при сложении десятков получилось число больше 10, ученик также как и в предыдущем примере, аналогично надписывает над соответствующим разрядом число, обозначающее, сколько необходимо будет прибавить к разрядной единице после основного сложения. 3. Случаи вычитания с одним переходом через разряд (с одним «заёмом»). Пример:
Как видно из данного примера, при вычитании десятков возникла необходимость заема из разряда сотен 1 единицы, приёмом самоконтроля для ребенка будет служить точка, поставленная над тем разрядом, откуда заняли разрядную единицу. Ученик при выполнении данного примера рассуждает так: 1. Пишу единицы под единицами, десятки под десятками, сотни под сотнями. 2. Вычитаю единицы: 7 - 3 = 4. Пишу под единицами 4. 3. Вычитаю десятки: из 3 нельзя вычесть 7. Занимаю 1 сотню из 6 сотен (над цифрой 6 ученик ставит точку, чтобы не забыть, что он занял оттуда 1 сотню). 13 - 7 = 6. Пишу под десятками 6. 4. Вычитаю сотни. Было 6 сотен, но 1 сотню заняли при вычитании десятков. Осталось 5 сотен. 5 - 2 = 3. Пишу 3 под сотнями. 5. Читаю ответ: разность равна 26. 4. Случаи вычитания с двумя переходами через разряд (с двумя «заемами»). Пример:
Приём самоконтроля в данном случае аналогичен предыдущему примеру. Рассуждения ребенка такие же, отличие заключается лишь в том, что «заём» был произведен 2 раза: при вычитании разряда единиц и при вычитании разряда десятков. Следует отметить, что данные прием можно использовать при письменных вычислениях чисел любого концентра. 5. Случаи вычитания с переходами через разряд, требующие «заёма» с переходом через разряд. Пример:
Последний случай требует «заема» разрядной единицы из разряда сотен, раскладывания её на десятки, «заёма» одного десятка для выполнения действий в разряде единиц, а затем выполнения действий с остатком «заёмных» десятков в разряде десятков. Этот случай является наиболее сложным для многих детей. Для того чтобы не терять количество «заёмных» десятков, можно подписывать над нулем уменьшаемого девятку, обозначая количество оставшихся заёмных десятков. При этом над восьмеркой следует поставить «точку», либо семерку, чтобы не забыть, что количество сотен на одну уменьшилось за счет «заёма». Важным элементом вычислительной культуры является умение выполнять прикидку и оценку результата, данный прием можно использовать и в самоконтроле при выполнении вычислительных навыков [22]. Прикидка, как прием самоконтроля при формировании вычислительных навыков в начальной школе на уроках математики, так как большой процент неправильно полученных ответов при вычислениях зачастую связано с невнимательностью учащихся при вычислениях, пропусками цифр, неправильной записью числа при письменных вычислениях, когда нарушается правильно поразрядного приписывания второго слагаемого или множителя под первым. Таким образом, способность младших учащихся к самоконтролю является условием формирования вычислительных навыков на уроках математики. Рассмотрим использование приема прикидки при решении заданий.
Маша выполнила задание так:
Миша - так: Догадайся! Кто допустил ошибку и в чем ее причина? Проверь свое предположение с помощью калькулятора [24]. В данном примере ученик сразу догадаться, что результат неверный, заметив неправильную запись выражения «в столбик». Но в случае, если у ребенка не сформирован навык правильной записи выражения «в столбик», ему поможет выявить ошибку, а в дальнейшем, избегать их повторения способ «прикидки результата». Ученик, используя прикидку, находит интервал возможных значений выражения. Округлив числа 121346 до 121500, а 3502 до 3500, затем сложив их, получает максимально допустимое значение выражения - 121500+3500 = 125000. Не выполняя вычислений, ученик догадается, что Миша решил пример в столбик неверно, т.к. 471546 > максимально допустимого значения выражения. Далее выполнив вычисления с помощью калькулятора, получает точное значение выражения:121346+3502=124848. Таким образом, прикидка является важным приемом самоконтроля, благодаря которому учащиеся смогут избежать ошибок при вычислениях, зная заранее какой приблизительно ответ должен получиться. Это особенно важно в тех случаях, когда неправильно полученный ответ - не результат отсутствия вычислительного навыка, а как следствие невнимательности со стороны ученика. Установление возможных пределов ожидаемого ответа предупреждает недочеты типа описок, пропуска цифр и т.д. Владение детьми данного приема будет полезно и в средней школе. Поэтому учителю необходимо познакомить детей с данным приемом самоконтроля при вычислениях уже с первых уроков на формирование вычислительных навыков. Вычислительные навыки успешно формируются у учащихся при создании в учебном процессе определенных условий. Прежде всего, это знание учеником последовательности действий, умение выделить главное, а также незамедлительная проверка полученных данных, самоконтроль. Кроме того, необходимо постоянно поддерживать активный интерес у детей, продумывать положительное его подкрепление. Принципиальное значение имеет правильное распределение упражнений во времени и их разнообразие. Понятно, что на каждом уроке постоянно должны иметь место и отрабатываться навыки контроля, самоконтроля и самооценки. Эффективность данной работы во многом будет зависеть, во-первых, от того, насколько сам учитель готов последовательно и регулярно включать эти задания в ход урока, комментировать их с точки зрения возможных ошибок; во-вторых, от того, насколько ученики осознанно выполняют эти задания, понимая конечную цель как можно меньше допускать ошибок при выполнении письменных вычислений. Таким образом, в данном параграфе мы рассмотрели основные способы устранения и предупреждения ошибок учащихся при сложении и вычитании в столбик. Описали и привели примеры специальных заданий, формирующих самоконтроль и развивающих вычислительные навыки учащихся. Рассмотрели основные приемы самоконтроля, которые помогут учащимся не допускать ошибки, связанные с невнимательностью и пропусками цифр. Также нами был описан прием «прикидки результата» как способ предупреждения ошибки в вычислениях. Грамотный подбор и использование вышеперечисленных приемов и способов предупреждения ошибок на уроках помогают учителю сформировать у учащихся навыки письменных вычислений сложения и вычитания. Download 136.52 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|