Microsoft Word 5-маъруза. Muhit qarshilik kuchi ta‘sirida moddiy nuqtaning erkin tebranma harakati docx

2. Katta qarshiliklar bo‘lgan hol, ya’ni n>k

; C₂ =

<sup>;


Bu holda ( 12.8) tenglamaning yechimi haqiqiy va turli bo‘lib, quyidagi ko‘rinishda
ifodalanadi:
λ1;2 = -n 土</sup> _{( 12.23)}
^{( 12.6) tenglamaning umumiy yechimi:
x = e-nt (C}₁^{ch t + C}₂ ^{sh t)} _{( 12.24)}

^{Yangi belgilashlar kiritsak, ya’ni:}
C1 = a1 shβ ; C2 = a1 chβ.
^{U holda umumiy yechim quyidagiko‘rinishda ifodalanadi:}
_{x = a1e}^{- nt}_{sh ( t + β)}


<sup>( 12.25)


( 12.26)</sup>

U holda umumiy tenglamadan ko‘rinib turibdiki, katta qarshiliklar bo‘lgan holda umumiy yechimda trigonometrik funksiyalar ishtirok etmaydi.
^{Bu holda M nuqtaning harakati aperiodik harakatdan iborat bo‘ladi,
chunki giperbolik sinus funksiyasi davriy bo‘lmagan funksiyadir.
Giperbolik funksiyaning formulalari quyidagiko‘rinishda yoziladi:}
_{sh wt =} ^e w t ^{- e} -wt _{; ch wt =} ^e w t ^{+ e}- wt
^{2 2 ( 12.27)
Agar ( 12.27) tenglamani (12.24)ga qo‘ysak, ( 12.6) tenglama yechimi quyidagicha yoziladi:}

-nt x = e


(
1 2
C e ^wt + C e^{- wt} )
^{( 12.28)}

_{Bu yer}d_{a w = ga teng. Integra}l _o^‘_zgarmasl_ari _{C1 ; C2} l_ar ( _{12. 13}) b_oshl_ang^‘i_ch shartlardan foydalanib aniqlanadi:

C
1
=

v0 + x0 (n +	n ^2- k ^2)
2

v0 + x0 (n -	n ^2- k ^2)
2

^{( 12.29)}

( 12.29) formuladan ko‘rinadiki, harakat tebranma bo‘lmaydi, vaqt o‘tishi bilan x kamayib nolga intilibboradi, ya’ni t 喻 父, x 喻 0 .
Boshlang‘ich shartlarining qanday bo‘lishiga qarab, uning grafigi 15-shaklda tasvirlangan hollardan birikabi bo‘ladi.

^{3. Chegaraviy hol, ya’ni n=k.}

^{Bu holda xarakteristik (12.8) tenglama ikkita teng, haqiqiy ildizga ega bo‘ladi. Ya’ni:
λ}₁ ^{= λ}₂ ^{= -n
bo‘lib, ( 12.6) tenglamaning umumiy yechimi quyidagicha ifodalanadi:}
x = e- nt (C1 + C2 t)
^{( 12. 13) boshlang‘ich shartlardan foydalanib, integral doimiylarini
hisoblaymiz:}
C
1 0 2 0 0
= x ; C = v + nx


^{Demak, ( 12.6) tenglamaning yechimi quyidagiko‘rinishda ifodalanadi:
x}
0 0 0

₌
^e- nt <sup>[x + (v + nx ) t]


( 12.30)


( 12.31)


( 12.32)


( 12.33)</sup>

Bu hol ham davriy bo‘lmagan xarakterga ega bo‘lib, uning grafigikatta qarshiliklar bo‘lgan hol grafigidan ( 16-shakl) farq qilmaydi. Nuqta harakati tebranma harakat bo‘lmay, aperiodik harakatdan iboratdir.
*5-MASALA
O‘zaro parallel bo‘lgan bir xil ikkita prujinalar LN sterjen bilan biriktirilgan bo‘lib, ularning massasi m_D = 5kg bo‘lgan D yuk ta‘siridan olingan statik deformatsiyasi f_st = 2sm . D yuk ustiga m_E = 5kg massali E yuk qo‘yilishi bilan yuklarning harakatiga tezlikning birinchi darajasiga proporsional bo‘lgan R = 60 v (N) kuch ta‘sir qila boshlaydi (17-shakl, a) ). 0 koordinata boshini D va E yuklarning statik muvozanat holatida o lib va o‘qni vertikal bo‘yicha pastga yo‘naltirib, yuklarning birgalikdagi harakat qonuni topilsin.
^{LN sterjen massasi va dempfer qismlarining massasi hisobga olinmasin.}
Yechish.
O‘zaro parallel ulangan va bikirliklari teng ikki prujinani ularga ekvivalent bo‘lgan bitta prujina bilan almasht iramiz ( 17-shakl,b)).
^{с = с}1 ^{+ с}1 ^{= 2 с}1 _{(*5. 1)}
^{Koordinata o‘qini masala shartida ta'kidlanganikabi tanlaymiz. D va E yuklarni M nuqta deb}

qaraymiz ( 17-shakl,d)). M nuqtaga D va E yuklarning og‘irlik kuchlari P_D , P_E , muhitning qarshilikkuchi R va prujina elastikkuchi F ta‘sir qila di.

^{Bu kuchlar 17-shaklda tasvirlangan. Boshlang‘ich shartlar quyidagicha bo‘ladi:
t = 0 , x = x}₀ ^{= -f}_st ^{, v = v}₀ ^{= 0.
Bunda f}_st ^{ekvivalent prujinaning E yuk ta‘siridagi statikdeformatsiyasi:}


_{fst = =}





<sup>(*5.2)


(*5.3)</sup>

^{M moddiy nuqtaning harakat differensial tenglamasini tuzamiz:
(mD + mE )} _{dt 2} <sup>= Σ Fix


(*5.4)</sup>

Bu tenglamada _Σ F_ix = P_D + P_E - F - R bo‘lishini e’tiborga olsak, (*5.4) tenglama quyidagi ko‘rinishni o ladi:
^(m_D ^{+ m}_E ^)d 2₂ ^{= P}_D ^{+ P}_E ^{- F - R
dt} (*5.5)
^{Bunda:
F = cf ; F = c(fst + fst + x); R = 60v = 60} _dt ^{; PD + PE = c(fst + fst ), bo‘lgani uchun (*6.5)
quyidagicha yoziladi:}

^{(mD + mE )} _dt^{2 + 60} _dt ^{+ c x = 0}
Tenglamaning ikki tomonini (m_D + m_E )ga bo‘lib, quyidagi tenglamaga ega bo‘lamiz:
^(*5.6)

d ² x 60 dx
+
d
D E
t² m + m dt


<sub>c
+ x = 0</sub>
m
D E
+ m
^(*5.7)

^{Belgilashlar kiritamiz, ya’ni:}

c 60
= k² 喻 = 2n.
m
D E D E
+ m m + m
^{(*5.8) ni (*5.7)ga qo‘ysak, differensial tenglama quyidagiko‘rinishni o ladi:}
_d ² <sub>x dx
+ 2n + k</sub> ² _{x = 0
dt} ² dt


<sup>(*5.8)


(*5.9)</sup>

(*5.9) differensial tenglamaning yechimini yozishdan avval (*5.8) dan n va k larning qiymatlarini aniqlab taqqoslaymiz:

n =


60
2(m_D + m_E )


_{= 3s} ^-1

^{Masalaning shartiga ko‘ra, prujinalarning D yuk ta‘siridagi statikdeformatsiyasi
f}_st ^{= 2(sm) = 0.02(m) ga teng. U holda P}_D ^{= c}₁ ^{. f}_st ^{tenglikdan quyidagi natija kelib chiqadi:
c1 =} _{f sDt} ⁼ _f ⁼ ₀._.02 <sup>= 2450 N m
Prujinalar parallel ulangani uchun ekvivalent prujina bikirligi
с = 2с1 = 4900 N m
(*5.8) tenglamadan k nihisoblaymiz:

k</sup>
m + m 10

D E
= ^c = = ²²_,^3s-1
Demak, n < kbo‘lib, kichik qarshiliklar bo‘lgan holi bo‘lib, (*5.9) differensial tenglamaning berilgan boshlang‘ich shartlarni qanoatlantiruvchi yechimi (*5. 10) tenglama bilan
^ifodalanadi:

x = e-nt (||（x0 cos t + sin t
^{(*5. 10) tenglamaga tegishli hisoblashlarnibajaramiz:
x}₀ ^{= -f}_st ^{= - m}_c^{g = -} ₄₉₀₀ ^{= -0.01(m);}
= = 21,93s^-1 ;
^{(*5. 10)
(*5. 11)}

n+0 ⁼ - _21,931 <sup>= -0,0014 (m)


(*5. 11) qiymatlarni (*5. 10) ga qo‘yib, D va E yuklarning birgalikdagi harakat qonunin i</sup>

^aniqlaymiz:
x = -e-3t ⁽0,01cos 21,93t + 0,0014sin 21,93t^{) (}m^{)
Shunday qilib, yuklar so‘nuvchi tebranma harakat qilar ekan.}


Takrorlash uchun savollar
<sup>1. So‘nuvchi tebranma harakat qanday kuchlar ta‘sirida sodir bo‘ladi?
2. So‘nuvchi tebranma harakat differensial tenglamasining yechimlari nechta ko‘rinishda
ifodalanadi?
3. So‘nish dekrementini tushuntiring.
4. So‘nuvchi tebranma harakat davri, amplitudasi, boshlang‘ich fazasi qanday ifodalanadi?
5. So‘nuvchi tebranma harakat grafigi qanday?
6. Aperiodik harakatni tushintiring?</sup>