Microsoft Word гн №4 2010 Верстка03 pdf doc

Характеристика приема: перенесение некоторого знания, полученно-
го из рассмотрения какого-либо объекта, на другой объект, т.е. если у объек-
тов А и В некоторые признаки (отношения) одинаковы, и объект А, кроме то-
го, обладает еще одним признаком (отношением), то делают вывод о том, что 
объект В обладает этим признаком (отношением). 
Необходимо отметить, что вывод по аналогии может быть истинным и 
ложным.
Пример 
Площадь любого треугольника выражается формулой Герона 
(
) (
) (
)
S
p p a
p b
p c


 
 
 . 
Изыскивая формулы для вычисления площади четырехугольников, мы 
можем задаться вопросом: верна ли аналогичная формула для четырехуголь-
ника?
Исследование этого вопроса показывает, что для четырехугольников, 
вписанных в окружность (и только для них!), справедлива следующая фор-
мула для вычисления площади:
(
) (
) (
) (
)
S
p a
p b
p c
p d

 
 
 

. 
Оказалось, что здесь полная аналогия не имеет места.
Отправляясь далее от обнаруженной аналогии в формулах, можно выяс-
нить причину этой аналогии: существует связь между треугольником (много-
угольником, который всегда можно вписать в окружность) и четырехуголь-
ником (не всяким, а только таким, который можно вписать в окружность). 
Итак, существенным признаком, объединяющим треугольник и четы-
рехугольник (в смысле общности формулы Герона), является возможность 
вписать их в окружность. 
Однако аналогия имеет большое значение для дальнейших исследова-
ний возможных объективных связей, помогает объяснить в какой-то мере ис-

---

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион 
150 
комые свойства и признаки, наводит на догадки, правильность или ошибоч-
ность которых проверяется доказательством. 
Полезны специально подобранные упражнения в применении метода 
аналогии. Применение аналогии распадается на следующие действия: а) по-
строение аналогов различных заданных объектов и отношений; б) нахожде-
ние соответствующих элементов в аналогичных предложениях; в) составле-
ние предложений или задач по аналогичным данным; г) проведение рассуж-
дений по аналогии.
В школьном курсе геометрии абсолютное большинство стереометриче-
ских фактов излагается без установления внутрипредметных связей с анало-
гичными планиметрическими фактами. Это есть следствие линейного по-
строения курса геометрии. Целесообразно же на основе линейно концентри-
ческой организации курса увязать эти плоскостные и пространственные те-
мы. Сейчас школьные учебники по геометрии ориентированы на аксиомати-
ческое и силлогистическое изложение. Целесообразна трансформация линей-
ного построения содержания школьного курса геометрии в линейно-концен-
трическое, что дает возможность проводить глубокие сравнения, широкое 
обобщение, выдвигать гипотезы и предположения, переносить знания, уме-
ния и навыки в новую ситуацию, переосмысливать с новых, более общих по-
зиций, уже ранее изученный материал. Большую роль при этом будут играть 
аналогии, интуитивные рассуждения, позволяющие приобщить учащихся к 
исследовательской деятельности. Наряду с полезной ролью, которую играет 
формирование действия по распознаванию образа, они же могут приводить 
отдельных учащихся, которые не усвоили или формально усвоили учебный 
материал, к грубым ошибкам. 
Так, учитель, рассматривая вопрос об окружностях, вписанных в четы-
рехугольник, предлагает учащимся сделать предположение: всегда ли воз-
можно в четырехугольник вписать окружность? 
Найдутся учащиеся, которые по аналогии с треугольником сделают по-
спешное умозаключение: «В четырехугольник всегда можно вписать окруж-
ность». 
Практически установив, что в некоторые четырехугольники невозмож-
но вписать окружность, учитель далее выясняет, в какие четырехугольники 
можно вписать окружность, т.е. переходит к доказательству теоремы о при-
знаках описанного четырехугольника.
Необходимо требовать от учащихся постоянно обосновывать выпол-
няемые математические операции с ссылками на определение, теоремы, фор-
мулы, чтобы добиваться сознательного и прочного усвоения материала. При 
решении упражнений необходимо руководствоваться принципом «Сначала 
правило, потом действие. Без правила нет действия!». В процессе преподава-
ния надо не только подчеркивать истинные аналогии, но и отличать ложные, 
разрушать их с целью предупреждения возможных ошибок. Насколько важна 
аналогия в математике, можно судить по следующему высказыванию извест-
ного польского математика Стефана Банаха: «Математик – это тот, кто умеет 
находить аналогии между утверждениями; лучший математик – тот, кто за-
мечает аналогии теорий; но можно себе представить и такого, кто между ана-
логиями видит аналогии». Таким образом, умозаключения по аналогии явля-
ются умозаключениями вероятности. Для того чтобы выяснить достоверность 
или ложность вывода по аналогии, необходимо дополнительно исследовать 
этот вывод. 

---

№ 4 (16), 2010 Гуманитарные науки. Педагогика 
151 
Умозаключение по аналогии рассматривается в единстве с процессом 
доказательства его истинности. Здесь в теснейшем переплетении и во взаимо-
связи встречается индукция и дедукция. В умозаключении по аналогии преж-
де всего используется индукция, ибо переход от первого предмета ко второ-
му (от треугольника к тетраэдру, от окружности к сфере) состоит в установ-
лении связей между частными свойствами. В то же время умозаключение по 
аналогии тесно связано с дедукцией, ибо истинность вывода по аналогии ус-
танавливается дедуктивным доказательством. При использовании аналогии 
совершается сложный мыслительный процесс, в котором применяются в 
единстве приемы анализа и синтеза. 
Пример 
а) Какой из всех прямоугольников, впи-
санных в данный треугольник, имеет 
наибольшую площадь? (Основание пря-
моугольника находится на основании 
треугольника, а две вершины его на бо-
ковых сторонах треугольника.) 
б) Какая из всех прямых треугольных 
призм, вписанных в данных тетраэдр, 
имеет наибольший объем? (Три верши-
ны призмы расположены на боковых 
ребрах тетраэдра, а основание призмы 
находится на основании тетраэдра.) 
Решение: (б) Проведем высоту тетраэдра 
''
AA  = h (рис. 1). 
 
Рис. 1 
Пусть 
' ''
A A  = х – высота призмы. 
Тогда 
' 2
2
' ' '
'' 2
2
(
)
(
)
(
)
B C D
BCD
S
AA
h x
S
AA
h



. 
Найдем объем призмы:
2
1
' ' '
2
(
)
B C D
BCD
h x
V
x S
x
S
h

 
 

. 
Это выражение представим так: 


1
2
1
2 (
)(
)
2
BCD
V
S
x h x h x
h





. 

---

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион 
152 
Сумма переменных множителей, заключенных в скобки, постоянна: 
2x + (h – x) + (h – x) = 2. 
Поэтому, согласно известной теореме, произведение будет максималь-
ным при равенстве множителей: 
2х = h – x; 
3
h
x
 . 
Итак, наибольшим объемом обладает призма, имеющая основание – 
треугольное сечение тетраэдра на высоте от основания тетраэдра. 
Подставим значение х в выражение для объема призмы, получаем 
3
1
2
1
8
27
2
BCD
h
V
S
h



; 
1
4
27
BCD
V
h S

 
. 
Учитывая, что объем тетраэдра АВСD равен 
1
3
BCD
V
h S
  
, 
получаем 
1
4
9
V
V
  . 
Итак, в статье представлен достаточный материал об аналогии как ме-
тоде формирования действия по распознаванию образа в геометрии старших 
классов. Рассматриваются задачи, позволяющие описать общую характери-
стику приема аналогии и выделить действия, его составляющие.