Модельдеу әдістері

9 дәріс. Таратылған параметрлері бар объекттерді модельдеу
Дәрістің мазмұны:
- таратылған параметрлері бар объекттерді аналитикалық әдістерімен модельдеу.
Дәрістің мақсаты:
- таратылған параметрлері бар объекттерді аналитикалық әдістермен модельдеуді мысалдарда қарастыру.
Кейбір күй координаталары (технологиялық параметрлері) геометриялық кеңістік бойынша өзгеретін объекттер болады. Мысалы, факелдің температурасы жану кеңістіктің әртүрлі нүктелерінде әртүрлі болады. Осындай объекттердің модельдері кеңістік бойынша таратылған немесе параметрлері таратылған модельдер болып табылады да, модель операторына геометриялық z = (z₁, z₂, z₃) координаталарын енгізу қажет болады.
Параметрлері таратылған маңызды жылу энергетикалық объекттер жалғыз фазалық және екі фазалық жылу тасымалдаушысы бар жылу алмастырғыштар болып табылады. Таратылған жылу алмастырғыштардың динамикалық сипаттамаларын зерттегенде жұмыс орта ағыны әдетте бір өлшемді, яғни құбыр қимасы бойынша жұмыс ортаның параметрлері тұрақты деп есептелінеді. Сонымен бірге қозғалып тұрған ортаның кинетикалық және потенциалды энергияларының өзгеруін есепке алмайды, себебі бұл шамалар өтпелі процесс кезіндегі жылу энергияның өзгеруіне қарағанда өте аз шама болып табылады.
Осы ескертулерді есепке алып параметрлері таратылған жылуалмастырғыштарды аналитикалық жолмен зерттегенде бастапқы болып алынатын жұмыс ортаның негізгі теңдеулері кәдімгідей қарапайымдалады.
9 - мысал. Ұзындығы L, қимасы f тұрақты құбыр берілген болсын. Осы құбыр бойынша қысылмайтын ағын (сұйықтық) қозғалады, құбырдың әр қимасында ағынның келесідей сипаттамалары бар: G - шығын, Р – қысым және температура  (10.1 суретті қараңыз). Құбыр изоляцияланбаған, яғни процесс изотермиялық болады. Құбыр кірісіндегі (1) және шығысындағы (2) қималарында ағынның физикалық сипаттамаларының байланыстарын зерттейік.
Зерттелетін объект ұзындығы (z) бойынша таратылған жұмыс ортаның параметрлері қима бойынша бірдей деп есептелінеді (бір өлшемді объект).
Негізгі теңдеулерді жазамыз.
- зат мөлшерін сақтау теңдеуі
(9.1)
- қозғалыс мөлшерін сақтау теңдеуі
, (9.2)
- жұмыс ортаның күй теңдеуі ( үшін):
. (9.3)
Бұл жүйе құбыр моделінің бастапқы түрі. Осы жүйені аналитикалық жолмен шешу тек қана карапайым келісулерді қолданып өткізуге болады. Осындай келісім ретінде келесі шартты алуға болады: құбырды бірнеше элементарлы кесінділерге бөлеміз, кесінділердің әрқайсысы жинақталған объект болып табылады. Элементтердің саны көп болса, нақты жүйеге жуықтау жақсы болады. Жүйені жалғыз элементпен алмастырып, бірінші жуықтауды аламыз және жинақталған объект үшін теңдеулерді жазамыз.
а) Келесілерді орнатамыз. Қысым мен шығынның динамикаларын кез келген қимада (яғни барлық z үшін) қарастырмаймыз, тек қана кірудегі және шығудағы қималар байланысын қарастырамыз (есептің бастапқы қойылуы да осындай). Сонда құбұрдың бастапқы сұлбасы орнына оның эквивалентін аламыз, бұл эквивалент жинақталған V = L*f көлеммен және төмендегі өрнекпен анықталатын шығудағы қимадағы гидравликалық кедергімен сипатталады: 

мұндағы p – құбырдың жергілікті кедергілерінің қосынды коэффициенті;  - жұмыс ортаның құбыр қабырғаларына үйкелу коэффициенті.
Сонымен бірге құбыр ұзындығы бойынша қысымның өзгеруінен пайда болатын ағын үдеуін есепке алмаймыз, яғни

деп есептейміз.
Сонда (9.2) келесідей түрленеді
(9.4)
Жұмыс ортаның массасының барлығы V эквиваленттік көлемде орнатылған, ал ол көлемге Р₁ қысымы әсер етеді, сондықтан (9.2) орнына келесіні қолданамыз
₁ =  (p₁, ). (9.5)
(9.1) сақтау теңдеуін құбыр ұзындығын есепке алып, келесідей түрлендіреміз

немесе (9.6)
Сол сияқты (9.4) орнына
немесе    (9.7)
Гидравликадан белгілі үйкелуге кететін шамасын анықтайтын өрнегін қолданамыз
(9.8)
Осыдан G₂ тауып және (10.6) қолданып қозғалыс мөлшерін сақтау теңдеуін аламыз
(9.9)
Сонымен, (9.5), (9.6), (9.9)) – ағынның алты G₁, G₂, P₁, P₂, ₁,  физикалық сипаттамалары арқылы жүйесі.
Әрі қарай түрлендіру жолы сипаттамаларды экзогендік және эндогендік айнымалыларына бөлуге тәуелді. Ең көп тараған бөлу келесі болады: тәуелсіз - G₁, P₂,  болсын, сонда жүйе G₂, P₁, ₁ айнымалылары арқылы шешілуі керек. Әдетте объект күйінің өлшенетін координаталарының, яғни G₂, P₁ өзгеруін зерттеуді қарастырады. Онда (2.4) күй теңдеуі ₁ жоюға қолданылады
;
(9.10)
Осы жүйе құбырдың жинақталған сызықты емес динамикалық стационарлы моделі болып табылады.
б) Сызықты емес өрнектерге Тейлор қатарын қолдану жолымен алынатын сызықтандырылған модельді қарастырайық. Теңдеулер жүйесін айнымалылардың бастапқы күй (оның координаталарының қосымша «0» индексі бар) бойынша ауытқулары арқылы жазып, келесіні аламыз



Соңында


мұндағы

.
Қажет болса алты «кіріс-шығыс» каналдары жиынымен құрастырылған эквивалентті модельді алуға болады. Автоматты басқару жүйелері теориясынан белгілі эквиваленттеу ережелері бойынша әр каналдың сипаттамаларын анықтауға болады.
в) Есеп шарты қарастырған мысалға ұқсайды. Айырмашылығы тек құбыр бойынша қозғалатын ағын қысылатын ағын болатынында. Бұл арада негізгі есепке алатын шарт келесіде: қысылатын ағынның қасиеттері идеалды газ қасиеттеріне жақын. Сондықтан қысылатын ортаның қасиеттерін анықтауға термодинамикадан белгілі өрнектерді қолдануға болады. Мысалы, изотермиялық процесс үшін 

Онда (10.7) теңдеуге ₁ орнына анық өрнекті қоюға болады:
.