Модуль функции нескольких переменных § о функциональных зависимостях между несколькими переменными

§ 8. Дифференцируемость функции нескольких переменных
Понятие «дифференцируемость функции» у = _/(л) одной переменой было определено следующим образом: функция у = / (л) называется дифференцируемой в точке л₀, если приращение функции в точке л₀ можно представить в виде
А/(л₀) = /(л₀ + Ал) - /(л₀) = ^(л₀) - Ал + а(Ал) - Ал, где а(Ал) — 0 при Ал — 0 .
Необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции у = / (л) в точке л₀ является существование производной в точке л₀
/'(^л0⁾ = lim = ^^(л0⁾.
Введем понятие дифференцируемости для функции двух переменных z = / (л, у).
Функция z = / (л, у) называется дифференцируемой в точке М₀( л₀, у₀), если полное приращение функции в этой точке можно представить в виде
^ = /^(л0 + ^^^, у0 + ^Ау^{) -} /⁽^ у0⁾ =
= Дл0,у0)Ал + й(л0,у0)Ау + a - Ал + р-Ау где а(Ал, Ау) — 0 и Р(Ал, Ау) — 0 при Ал и Ау — 0.
Равенство (1) выражает условие дифференцируемости функции z = / (л, у) в точке Мо( Ло, у^).
Функцию z = / (л, у), дифференцируемую в каждой точке некоторого множества, называют дифференцируемой на этом множестве.
Пример 4. Доказать, что функция z = л²у дифференцируема на В².
Решение. Полное приращение функции в любой точке М(л, у) е В² имеет вид
Dz = /(л + Ах, у + Ау) - /(л, у) = (л + Ал)²(у + Ау) - л²у =
= (л² + 2 лАл + (Ал)²)( у + Ау) - л² у = л² у + 2 л - уАл + у (Ал)² + л² Ау +
+2лАл - Ау + Ау - (Ал)² - л²у = 2лу - Ал + л²Ау +
+(у + Ау) - (Ал) - Ал + 2л - Ал - Ау = А(л, у) - Ал + В(л, у) - Ау + a - Ал + b - Ау,
где А( л, у) = 2 лу; Л = л²; а = (у + Ау) -Ал; b = 2 л -Ал.
Отметим, что А и В в фиксированной точке М₀(л₀, у₀) - постоянные числа, а a и b ® 0 при Ал и Ау ® 0.
Это значит, что данная функция дифференцируема в любой точке Ме В².
В равенстве (1) выражение А -Ал + В -Ау - линейное относительно Ал и Ау называют главной частью полного приращения функции, а выражение a - Ал + b - Ау - является бесконечно малой при Ал ® 0 и Ау ® 0.
Следующая теорема устанавливает связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции двух переменных.
Теорема 5. Если функция z = /(л,у) дифференцируема в точке М₀( л₀, у₀), то она непрерывна в этой точке.
Доказательство. Так как функция z = / (л, у) дифференцируема в точке М₀( л₀, у₀), то полное приращение А? в этой точке имеет вид
Аи = А - Ал + В - А + а- Ал + b- Ау, (2)
где А и В - некоторые числа, не зависящие от Ал и Ау; а и b ® 0 при Ал и Ау ® 0.

Переходя к пределу в равенстве (2) при Ах и Ау ® 0 получим

lim Az = lim (^ Ах + ^ Ау + а - Ах + b - Ау) = 0
Ах——0 Ах——0
Ау®0 Ау——0
А это значит, что функция z = У (х, у) непрерывна в точке М ₀( х₀, у₀). Что и требовалось доказать.
Замечание. Обратная теорема неверна, те. непрерывность является только необходимым, но недостаточным условием дифференцируемости функции.
Обратите внимание, что для функции одной переменой у = У (х) существование производной в точке х₀ является необходимым и достаточным условием дифференцируемости функции в этой точке.
Для функций нескольких переменных дифференцируемость и существование частных производных не являются эквивалентными свойствами функции нескольких переменных.
Теорема 6 (необходимое условие дифференцируемости функции). Если функция z = / (х, у) дифференцируема в точке М ₀( х₀, у₀), то она
имеет частные производные, причем —(М₀) = ^, —(М₀) = ^ .
Эх Эу

Доказательство. Так как функция z = / (х, у) дифференцируема в точке М₀( х₀, у₀), то ее полное приращение представимо в виде



Az = а(х0,у0)Ах + Л(х0,у0)Ау + а - Ах + b-Ау.