Модуль функции нескольких переменных § о функциональных зависимостях между несколькими переменными

л ² + у ²


= lim
^л®⁰ л ²


Ал ²
+ А + л


А

1 + А²
непрерывна в точке О(о, о) по каждой переменой л и у, но не является непрерывной как функция двух переменных Следовательно, для различных А получают разные предельные значения, а это значит, что предел данной функции в точке 0(0,0) не существует, т.е. функция У(л, у) не является непрерывной в точке 0(0,0).
Замечание. При решении данной задачи непрерывность функции У(л,у) по переменным л и у можно установить следующим образом: рассмотрим функцию У(л,у) при у = 0, т.е. У (л,0), но так как У (л, 0) = 0 для всех л, то функция У(л, 0) непрерывна на всей числовой оси Ол, в частности и в точке л = 0. А это означает непрерывность функции У (л, у) в точке 0(0,0) по переменой л.

§7. Дифференцирование функций нескольких переменных

Производная функции у = У (л) одной переменой характеризует скорость изменения функции в точке л. Для случая функции двух или нескольких переменных можно говорить о скорости изменения функции в точке только в заданном направлении, так как скорость изменения функции двух или нескольких переменных в точке по различным направлениям будет различна

Отношения:


^А ^


^у(лр +Ах,ур⁾ - ^у(урХ _ ^у(Уо + ^Ау^{)- у(}Уо)


Ах




Отношения
определяют среднюю скорость изменения функции z _ У(л, у) в точке М_р(л_р, у_р) в направлении изменения независимых переменных л и у соответственно, от точки М_р(л_р, у_р) до точки М_р(л_р + Ал, у_р) и М_р(л_р, у_р + Ау).
Частной производной функции z _ У(л, у) по переменой л в точке М_р( л_р, у_р) называется предел отношения частного приращения функции А^ к соответствующему отношению приращения аргумента Ал, когда последнее произвольным образом стремится к нулю:
^{у (л}р +Ах, ур)^{- у (л}р, ур)
Ал

Частные производные для функции и независимых переменных определяются аналогичным образом.

Следовательно, частная производная функции нескольких независимых переменных определяется как производная функции одной из этих переменных при условии, что все остальные переменные остаются постоянными. Значит, все правила и формулы дифференцирования, справедливые для производных функций одной переменой, имеет место и для частных производных. Но при этом необходимо помнить, что во всех этих правилах и формулах при нахождении частной производной по какой-либо переменой все остальные переменные считаются постоянными.
Пример 1. Найти по определению частные производные функции z _ л² + у² в точке М(1, 2).
Решение. По определению частной производной по переменой л в точке М(1, 2) имеем

Таким образом —(М) = 2 .

Эл
Частная производная по переменой у:
—(_М) = lim /⁽Уо + ^Ау)^-/⁽Уо)
Эу Ау —0 Ау

lim 1 +⁽² + ^Ау^{)2 -}1^{- 22} = lim ^Ау. (4 + Ау) = 4

Ау — 0 Ау Ау — 0 Ау

Таким образом —(М) = 4.
Эу
Пример 2. Для функции и = 3л²у + л² - у^ найти частные производ-
' <sup>Эу

ные и</sup>л ^{, и}у .
^ Эи
Решение. Чтобы найти, например, частную и_л =— функции двух
Эл
независимых переменных и = У(л, у), нужно в выражении У(л,у) второй
аргумент у принять за постоянную и дифференцировать У(л,у) как функ/
цию одной переменной л. В нашем случае будем иметь: и_л = 6 лу + 2 л.
/
При дифференцировании по у за постоянную принимаем л, тогда и_у
^ 2 2 будет равна и_у = 3л - 3у .
Пример 3. Найти все точки, где не существуют частные производные функции и = ^/л² + у² .
Решение. Находим частные производные функции и:
Эи л Эи у
Эти формулы теряют смысл в точке (0,0). Выясним, имеет ли частные производные данная функция в точке (о, о). По определению частной производной по переменой л для точки (0, 0) имеем

Но последний предел не существует, значит, не существует частная производная по л в точке (0, 0).

Поступая таким же образом по у, доказываем, что не существует частная производная по переменой у в точке (0, 0).

Физический смысл частной производной.'

—(М), (М), — (М) - это скорость изменения функции в точке
Эл Эу Эи
М в направлении оси Ол, Оу и Ои соответственно.
Геометрический смысл частных производных функции Эвух независимых переменных.
Пусть задана функция и = — (л, у). Выясним геометрический смысл Эи
частной — функции и = — (л, у). Г рафик функции и = — (л, у) - это не- Эл
которая поверхность g в ^ . Пусть точка ^0(л₀, Уо) ^ ^(—), на этой поверхности ей соответствует точка М ₀( л₀, у₀, и₀). Пересекаем график данной функции плоскостью у = у₀- получим кривую и = — (л ,у₀) (рис. 1).

Это кривая ЭМ₀ ^, которая есть график функции одной переменной

и = — (л , у₀) в плоскости у = у₀ .Тогда по геометрическому смыслу произ Эи
функции и = — (л, у) в точке ^0( л₀, у₀) равно численно тангенсу угла a, образованного положительным направлением оси Ол и касательной, проведенной в точке М₀(л₀, у₀, и₀) к линии пересечения поверхности
и = — (л, у₀) и плоскости у = у₀. (рис. 1). Аналогичная геометрическая интерпретация частной производной функции и = — (л, у) по у (рис. 2).