Модуль функции нескольких переменных § о функциональных зависимостях между несколькими переменными

fi. И - , 2' 2 J

это круг с центром в этой точке, расположенный в кольце 1,5 -e< х² + у² +1 < 1,5 + е (рис. 6). Если выбрать е> 0,5, то размеры 5 должны быть такие, чтобы 5-окрестность располагалась внутри круга х² + у² < Д², где Д > 1 (рис. 7).

22 х — у
Пример. Доказать, что функция / (х, у) = 2 2 не имеет предела
_х ² _{+ у}²
в точке О(0, 0).
Решение:
7 способ. Выберем две сходящиеся к точке О(0, 0) последовательно-

сти точек, например, =	^ 1 2'	II	f 1
			,0
	Ln' nJ		^ n J

тогда

lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


-3
2


lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


И


-3
2


lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


И


-3
2


lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


И


-3
2


lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


И


-3
2


lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


И


-3
2


lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


И


-3
2


lim / (M₁) = lim -И


И ®¥


й®¥ 5 5
и²


2
lim /(M₂) = lim И = 1
И —®¥ И —¥ 1


И

-3
2
lim / (M1) = lim -И И ®¥ й®¥ и2 2lim /(M2) = lim И = 1 И —®¥ И —¥ 1 И

Таким образом, двум различным последовательностям точек, сходящимся к точке О(0, 0) (те. имеющим один и тот же предел), соответствует две последовательности значений функции, имеющие разные пределы. Тогда согласно определению предела функции по Гейне, данная функция не имеет предела в точке О(0, 0).

2. 
   способ. Перейдем к полярным координатам л = г cos j, у = г sin j. Тогда /(л, у) примет вид
   

2 2 3-2
г cos j-Г МП j
/(л, у) = / (г cos j, Г sin j) = _{2 2 2 2} = cos2j.

Если бы существовал предел lim /(л, у) = ^, то для любого e > 0

л—0 У—0
нашлось бы 5 > 0, что из неравенства 0 < г <5 следует, что /(л, у) - < e.
Но функция cos2 j не зависит от г, и в любой сколь угодно малой окрестности точки О(0, 0) есть как точки, где /(г cos j, г sin j) = 0 (например,
при j= ), так и точки, где /(г cos j, г sin j) = 1 (например, при j = 0). Значит искомый предел не существует.

Приведенные выше определения предела функций двух переменных аналогично обобщаются на случай функции трех и большего числа переменных. Используя понятие предела, вводится понятие бесконечно малой функции, изучаются свойства бесконечно малых функций, теоремы об арифметических операциях над пределами и другие свойства, аналогичные случаю одной переменной.

Наряду с указанными выше пределами у функций многих переменных можно рассматривать и пределы других видов, связанные с последовательным переходом к пределу, например по различным координатам, те. пределы вида (для случая двух переменных)
lim lim /(х,у) или lim lim /(х,у),
х ® ^х0 ^у ® ^у0 ^у ® ^у0 ^х ® ^х0
где функция У(х, у) определена в некоторой окрестности точки (х₀, у₀) кроме, «быть может», в самой точке.
Пределы указанного вида называются повторными пределами, они представляют собой специфику функций нескольких переменных. Таким образом, повторные пределы соответствуют предельному переходу (для двух переменных х и у) сначала по х при постоянном значении у (у ^ у₀),
а затем по у при постоянном значении х (х ^ х₀) или наоборот.
Пусть функция z = / (х, у) определена в окрестности точки (х₀, у₀), кроме «может быть» прямых х = х₀ и у = у₀. При фиксированном значении переменной у функция z = /(х, у) - функция одной переменной х. Пусть для любого фиксированного значения у из окрестности точки у₀ , существует предел функции У(х,у) при х ® х₀ (это предел зависит «вообще говоря» и от у):
^lim /⁽х у⁾ = j⁽ у⁾
х ® хо у-фиксир
Пусть предел функции j(у), при у ® у₀, существует и равен А:
lim j(у) = А.
у ® ^у0
Тогда говорят, что в точке М ₀( х₀, у₀) существует иовторнмм предел функции _/(х, у) и записывают следующим образом
lim lim /(х, у) = А.
^у ®^у0 ^х ® ^х0
При этом lim /(л, у) = j(у), у - фиксированное значение называ-
х ® ло
ется внутренним пределом в повторном пределе.
Аналогичным образом определяется другой повторный предел
lim lim У(л, у), в котором внутренним пределом является lim У(л, у),
^л ® ^л0 ^у ® ^у0 ^у ® ^у0
л - фиксированное значение.
Например, для функции /(л, у) = ₂ ^лу ₂ , область определения кол ² + у ²
торой является вся плоскость за исключением начала координат, оба повторных предела существуют и
lim lim У(л, у) = lim lim У(л, у) = 0.
л——0 у——0 у——0 л——0

Предел lim / (л, у) не существует, т.к. например, вдоль координат-

(л, у )®(0,0)
ных осей он равен нулю, а вдоль прямой у = л предел равен 0,5.
А для функции
0, при л = 0 или у = 0 , если
xsrn — + у sin л ^ 0 и у ^ 0,

имеющую областью определения всю плоскость, найдем различные ее пределы. Так lim У (л, у) = 0, а что касается повторных пределов для данной

функции, то они
lim (lim л sin¹ + lim у sin ^) и lim (lim л sin¹ + lim у sin ^)
у ——0 л——0 у л——0 л л——0 у ——0 у у ——0 л
не существуют, так как уже не существуют lim у - sin¹ (у ^ 0)
л——0 л
_{2 2} при (л, у) — (0,0) существует пре-
1 + л ² у ²
дел, равный нулю, существуют и равны нулю оба повторных предела:

лу


лу



lim
л—0


lim - -
у^—01+л² у²;





lim 0 = 0
л—0


lim
у—0


lim
^л—01 + л ² у


22


lim 0 = 0.
у—0

Таким образом, только из существования предела функции в данной точке не следует существования повторных пределов в этой точке, и, наоборот, из существования повторных пределов не следует существования предела в соответствующей точке. Тем не менее, определенную связь между этими пределами (понятиями) устанавливает следующая теорема.

Теорема 3. Если в точке М _о( л_о, у _о) существует предел функции У(л, у), равный А (lim У(л, у) = А), а также пределы в повторных пределах
(л, у )®(0,0)
этой функции, тогда существуют повторные пределы lim lim У (л, у) и
^л®^л° у®уд
lim lim У(л, у), причем имеет место равенство
у®уо ^л®^л0
lim lim У(л, у) = lim lim У(л, у) = А.
^л®^ло у®уо у®уо ^л®^ло
Доказательство. Проведем доказательство теоремы для случая, когда существует lim У(л, у) = А и при любом у ("быть может" за исключе-
(л, у )®(ло, уо)
нием у_о) из окрестности точки (л_о, у_о) существует предел
lim У(л, у) = j(у), тогда повторный предел lim lim У(л, у) существует
л®ло у®уо л®ло
и имеет место равенство lim lim У(л, у) = А.
у®уо л® ло
Действительно, так как существует lim У (л, у) = А, то для любого
(л, у )®(ло, уо)
e > о существует 5_е - окрестность точки М_о( л_о, у_о), такая, что имеет место неравенство
У (л, у) - А] <2.
Так как существует lim У(л, у) = j(у), то для любого числа у из
л ® ло
окрестности точки М _о( л_о, у_о) и из последнего неравенства будем иметь
j( у) - А] < -2<е,
что означает, что lim j(у) = lim lim У(л, у) = А. Теорема доказана.
у ® уо у ® уо ^л ® ^ло
Отметим, что обратное утверждение неверно.
Замечание. Понятие повторных пределов функции можно ввести и для случая, когда л_о (либо у_о, либо л_о и у_о) равна +¥ (или -¥, или +¥).

§6. Непрерывность функции нескольких переменных

Пусть в пространстве ^² задана область D и точка М₀(л₀,у₀), принадлежащая D. Функция z = у(л, у) называется непрерывной в точке М ₀ (л₀, у₀), если выполняются следующие условия:

1. 
   у(М) определяется в точке М ₀ и некоторой ее окрестности;
   
2. 
   существует lim у(М);
   

о

3. 
   lim у(М) = у(Мо).
   

Г)
Если в точке М ₀ одно из условий, приведенных выше, не выполняется, то точка М₀ - точка разрыва функции z = у(л, у).
Аналогично определяется непрерывность в точке для функций 3 и большего числа независимых переменных.
Для функции z = у(л, у) двух независимых переменных точки разрыва могут быть изолированными или образовывать линию разрыва, а для функции w = у (л, у, z) трех независимых переменных точки разрыва могут быть изолированными, образовывать линию или поверхность разрыва

Пример 1. Найти точки разрыва функций:
1


Решение:
а) данная функция определена на R ^ всюду, кроме точки 0(0,0), которая и является точкой разрыва функции;
б) точка разрыва функции - А(4; 2);
в) данная функция определена для любых л, у, таких, что л² - у² ^ 0. Следовательно, прямые л = у и л = -у являются линиями разрыва данной функции;
г) данная функция определена для любых л, у и z, таких, что л² + у² + z² ^ 4. Сфера с центром в начале координат, радиусом 2 является поверхностью разрыва функции.
Функция z = у(М) называется непрерывной на множестве D, если она непрерывна в каждой точке этого множества.

Функции нескольких переменных, непрерывные на замкнутых ограниченных множествах, обладают свойствами, аналогичными свойствам функции одной переменой, непрерывной на отрезке

Сформулируем некоторые из этих свойств.

1. 
   Если функция z = У (М) непрерывна на замкнутом ограниченном множестве D, то она ограничена на нем и достигает в некоторых точках М₁ е D и М₂ е D своих точных верхней и нижней граней.
   
2. 
   Если функция z = У (М) непрерывна на замкнутом связном ограниченном множестве D, то она принимает на нем все промежуточные значения.
   
3. 
   Если функция z = У (М) непрерывна в точке М₀ е D, то существует окрестность точки М ₀, в которой данная функция ограничена.
   
4. 
   Если функция непрерывна в точке М ₀, причем У (М₀) ^ 0, то существует окрестность точки М₀, в которой знак У (М) совпадает со знаком У (Мо).
   
5. 
   Если функции У (М) и g (М) определены на множестве D и непрерывны в точке М₀, тогда:
   

а) У (М) ± g (М) непрерывна в точке М₀;
б) У (М) - g (М) непрерывна в точке М₀;

Пусть z = У(л, у) - функция двух независимых переменных и D( У)- область ее определения. Выбираем произвольную точку М₀(л₀, у₀) е D(У) и дадим л₀ приращение Ал, а у₀ оставим без изменения. Тогда данная функция У(л,у) получит приращение

^А *^z = ^{У (л}0 + ^Ал, У0^{) - У (л}о^, Уо^),
которое называется частным приращением функции z = У (л, у) по переменой л в точке М ₀( л₀, у₀).
Таким же образом, считая л₀ постоянной и придавая у₀ приращение Ау, получим частное приращение функции z = У (л, у) по переменой у в точке М 0( л0, у0)
^А у^z = ^{У (л}0^, у0 + ^Ау^{) - У (л}о^, у0⁾.
Полным приращением функции z = / (л, у) в точке М₀( л₀, у₀) называется функция Dz = А/ (Ло, Уо) = / (+ Ал, уо + Ау) - / (л^, уо).
Г еометрически частные и полное приращение функции
А ^, А ^z, Az - это отрезки (рис. 1).



Пример 2. Найти частные и полное приращение функции z = л + у² в точке М₀(2,1), если Ал = -0,1, Ау = 0,2.
Решение. По определению частных и полного приращения функции в точке М₀(л₀, у₀) имеем:
^А л^z=/^(л0+^ у0^{) -} /⁽^ у0⁾ = ^(л0+^Ал)+у0^{- л}0^- у0 = ^Ал; ^А л^z=^-0,1;
А^z = /(л0,у0 + Ау)- /(л0,у0) = л0 + (у0 + Ау)² - л0 -у0 =
=⁽у0 + ^Ау^{)2 -}уо =⁽у0 + ^Ау^-у0⁾'⁽у0 + ^Ау + у0⁾ = ^Ау'⁽²у0 + ^Ау⁾
А ^z = 0,2 - (2 -1 + 0,2) = 0,2 - 2,2 = 0,44 А ^z = 0,44
^А = /^(ло + ^Aл, уо + ^Ау^{) -} / ^(ло^, уо⁾ =
= ^(ло +^Ал + ⁽уо +^Ау^{)2 -л}о ^-уо = ^Ал + ⁽уо +^Ау^{)2 -}уо =
= ^Ал +⁽уо + ^Ау ^- уо⁾⁽ уо + ^Ау + уо⁾ = ^Ал + ^Ау⁽² уо + ^Ау⁾
Az = -0,1 + 0,44 = 0,43.

Если w = У (л, у, z) - функция трех независимых переменных, то для нее вводятся частные и полные приращения A ^, A^,w, A _zw и Aw в

^{точке М} о^{( л}o^, Уo^{, z}o^):
A ^^w = /^(ло + ^Ax, Уo^{, z}0⁾ - /^(ло^, Уo^{, z}0^)
A y^w = /^(ло^, Уо + ^А^ ^zo^{) -} /^(ло^, Уo^{, z}o^)
А z^w = ^У(ло^, Уo^{, z}o + ^{Az) - У(л}о^, Уo^{, z}o^)
Aw = /^(ло + ^Aл, Уо + ^zo + ^{Az) -} /^(ло^{, z}o⁾-
Аналогично определяются частные и полное приращения функции и независимых переменных.
Замечание 7. Определение непрерывности функции нескольких переменных можно следующим образом: функция z = У (л, у) непрерывна в
точке М_о( л_о, у_о), если lim = У (lim М) = У (М_о), что равносильно:
^М ®^Мо М ®М_о
"e> о 33, > о "М е D, р(М,М_о) <3, У(М) - У(М_о) <е.

Замечание 3. Определение непрерывности функции нескольких переменных можно дать, используя полное приращение функции z = У (л, у) в точке М. Функция z = У(л, у) непрерывна в точке М_о (л_о, у_о), если lim Az = о .

Ax^
Ay^
Замечание 3. Функция z = У (л, у) называется непрерывной в точке М_о(л_о,у_о) по переменой л, если lim A^ = о. Аналогично определяется
непрерывность по любой переменой для функции и независимых переменных. Отметим, что имеет место следующая теорема.


Теорема 4. Если функция z = У (л₁, л₂,..., л_и) определена в точке М и некоторой ее окрестности и непрерывна в точке М, то она непрерывна в этой точке

Заметим, что обратное утверждение неверно Пример 3. Доказать, что функция

лу


У (л, у) = -


2 , 2 л + у


л² + у² ^ о

о, л² + у² = о
непрерывна в точке О(о, о) по каждой переменой л и у, но не является непрерывной как функция двух переменных.

Решение:

1. 
   Найдем частное приращение по л функции У(л,у) в точке 0(0, 0)
   

А ^ = У (Ал,0) - У (0,0) = 0 - 0 = 0.
lim А ® 0, а это значит, что У(л,у) непрерывна в точке 0(0, 0) по
Ал®0
переменой л.

2. 
   Найдем частное приращение по у функции У(л,у) в точке 0(0,0)
   

А yz = У (0, Ау) - У (0,0) = 0 - 0 = 0.
А lim А_yz = 0, а это значит, чтоУ(л,у) непрерывна в точке 0(0,0) по
Ау ® 0 ^
переменой у.

3. 
   Докажем, что функция z = У (л, у) не является непрерывной в
   

лу
точке 0(0,0). Для этого найдем lim — . Если точка М(л, у) стремит-
^л®⁰ л ² + у ²
у®0 ^
ся к точке 0(0, 0) по прямой у = Ал, тогда получим, что

lim
л®0
у®0


лу


22