Модуль функции нескольких переменных § о функциональных зависимостях между несколькими переменными

§4. Функции двух переменных.
Понятие функции и переменных
Функцией двух независимых переменных (л, у), определенной на множестве D е В², называется соответствие У, которое каждому элементу (л, у) е D ставит в соответствие единственный элемент Е е В, обозначаемый У(л, у) (рис. 1, 2).

Множество D называют областью определения (множество заданий) функции у, а совокупность (множество) всех элементов у(х, у), (х, y) е D - множеством значений F(/) функции у. Тот факт, что у - функция, заданная (область определения) на D е ^², со значениями в F е ^, обозначают следующим образом у: D ® F.

Соответственно у, устанавливаемое между точками из D е ^² и F е ^, геометрически можно изобразить в пространстве ^ (рис. 2).
Функцию Z = у (*, у) - двух переменных можно задать:

• 
  аналитическим способом (используя формулы);
  
• 
  табличным (используя таблицы);
  
• 
  графическим (построить график);
  
• 
  программным (построить алгоритм вычисления z по х и у).
  

Г рафиком Г у функции у называется множество точек пространства ^ с координатами (х, у,у(х, у)), (х, у) е D, т.е.
г у = {(X, у, z) /(X, у) е D, z = у (х, у)}.
Для построения графика функции Г у - функции двух переменных из точки (х, у) е D(у) перпендикулярно к плоскости Оху отложим отрезок длиной ]z] в положительном направлении оси Oz, если z > 0, и в отри-

цательном направлении, если z < 0. Точка пространства Е² с координатами (л, у, z) будет точкой графика Г у.

Г рафик функции Г у, вообще говоря, есть некоторая поверхность в
Е². Проекцией этой поверхности на плоскость Олу является область D(/).
Соответствие, устанавливаемое между элементами (л, у, z) е D ^ Е² и элементами множества Е ^ Е, при котором каждому элементу из D ставится в соответствие один элемент из Е, называется функцией трех переменных. Область определения D данной функции есть множество точек
пространства Е². Поскольку каждая точка (л, у, z) определяет в пространстве Е² радиус-вектор, то функцию / трех переменных можно рассматривать как соответствие, устанавливаемое между множеством векторов и множеством действительных чисел. Значит, функцию трех переменных можно рассматривать как скалярную функцию векторного аргумента. График функции трех переменных определяется аналогично, но изобразить графически функцию трех и более переменных невозможно.
Рассмотрим примеры функций двух переменных и их графики:

1. 
   / = л² + у². Область определения функции D( /) = Е², множество
   

значений Е(/) = [0; + ¥, график функции в Е² - круговой параболоид (рис. 3);

2. 
   / = J4 - л² - 4у² . Область определения D(/) = Е², множество значений Е (/) = [0; 2], график функции изображен на рис. 4;
   

3)/ ^—2 2- Область определения D(/) = Е \(0, 0). Множество

л + у
значений Е(/) ^ (0; + ^), график функции изображен на рис. 5.


Понятие функций и переменных. Множество всех упорядоченных совокупностей (л₁,л₂,...л_н), где л_н е Е, ^ = 1,н называется н-мерным координатным пространством Е , а каждая упорядоченная совокупность (л₁, л₂,...л_н) = М - точкой этого пространства. Координатное пространство
Е" называется декартовым, если расстояние между точками
М (л₁, л₂,. ..л_н) и # (у₁, у₂... ) определяется по формуле




^ 2
Ё - ^л^⁾ .
^=1

р(М, #)

Евклидово н-мерное пространство является обобщением понятий евклидовой прямой Е , евклидовой плоскости Е , евклидова пространства Е\
Если каждой точке М е D ^ Е" евклидова пространства Е" по некоторому закону (правилу) / ставится в соответствие одно из чисел множества Е ^ Л, то говорят, что на D задана функция /. Множество D - область определения функции /; Е - множество значений функции /. Аналогично, как для Е¹, Е², Е^, так и для Е" вводится понятие графика функции, но для н > 3 построить (изобразить) поверхность для н > 3 невозможно (можно только представить!).

Рассмотрим примеры и задачи на определение функции нескольких переменных и нахождение области определения.

Найти область определения функций:

а) z = лу² - 4 у - л +1;


б) z


2 л - у _; л - у '


^{в) z} = ;


г) z = ln л + ln у ;


л + у + z
д^{) z} =^ln лу; ^{е) z} = _{2 2} =.