Модуль функции нескольких переменных § о функциональных зависимостях между несколькими переменными

§ 3. Примеры и упражнения
Пример 1. Доказать, что в любой окрестности точки М(л, ^), задаваемой неравенством (л - л)² + (у - ^)² < Е², есть окружность, задаваемая неравенствами [л - л] <5, [у - ^ <5, 5> 0.
Решение. Выбирая 5> 0 такое, что 25² < Е². Тогда из
[л - ^ <5, [у - ^ <5 следует, что
(л - л)² + (у - ^)² = [л - л]^ + [у - ^< 25² < Е².
Пример 2. Пусть множество Е е Е² состоит из точек, обе координаты которых рациональные числа. Доказать, что любая точка М(л, ^) е Е² (плоскости) является предельной для множества Е.
Решение. Пусть любая окрестность точки М(л, ^) задается неравенствами Л - Л <5, [у - ^1 <5. Тогда существуют рациональные числа т₁ и
т*2, отличные соответственно от а и ^, такие, что Л - Л <5 и Л - ^ <5.
Точка Е(ту т^) принадлежит множеству Е и находится в выбранной окрестности точки М(л, ^) и отлична от М. Таким образом, имеем, что в любой окрестности точки М есть отличные от М точки из множества Е. Значит М(л, ^) - предельная точка множества Е.

Пример 3. Множество Е состоит из точек плоскости, для которых л² + у² < 100. Доказать, что точка М(6, 8) является предельной для множества jE.
Решение. Выбираем любую окрестность точки М(6, 8), задаваемую

неравенствами [л - 6 <5, [у - 8 <8, где 0 < 5 < 1. Т огда Е

5


5

6 —, 8 — 2 2

принадлежит этой окрестности, причем

л 5^² ^ 5^²


6 —
2 у


+


8-5
2


< 6² + 8² = 100

Значит, точка В принадлежит множеству Е, откуда имеем, что М - предельная точка для множества Е.

Пример 4. Доказать, что множество Е точек плоскости, удовлетворяющих неравенству у > л², замкнуто.
Решение. По определению замкнутое множество - это множество, которое содержит все свои предельные точки. Значит, чтобы доказать замкнутость множества Е достаточно показать, что любая М(л, %), не принадлежащая Е не может быть предельной для Е. Пусть точка М(л, %) не принадлежит Е. Тогда имеем неравенство % < л² . Пусть — = л² - % > 0,
тогда найдется такое 5< —, что из неравенства [л - л] <5 вытекает

< —. Тогда из неравенства [л - л] <5, [у - ^ <5 следует, что

л² - у = (л² - %) + (% - у) + (л² - л²) >

e
> — — 2


- = 0. 2


л


л

> (л² - %) -1% - у]

Значит, все точки 5 - окрестности точки М не принадлежат множеству Е. Значит, множество Е замкнуто.

Пример 5. Найти граничные точки множества Е, заданного неравенством л² + у² < 25 .
Решение. Граничными точками множества Е е В² называются точки, в любой окрестности которых есть как точки из множества Е, так и точки, не принадлежащие этому множеству. Данное множество состоит из точек, лежащих внутри окружности радиуса 5 с центром в начале координат (точки самой окружности не принадлежат множеству). С геометриче

ской точки зрения границей множества Е - окружность л² + у² = 25 . Докажем это аналитически. Неравенства л² + у² < 25 и л² + у² > 25 задают открытые множества, следовательно, ни точки множества л² + у² < 25, ни точки множества л² + у² > 25 не являются граничными для множества Е.

Рассмотрим теперь точки окружности л² + у² = 25 . Пусть А(й, лежит на этой окружности. Выберем любую окрестность точки А. В эту окрестность точки А попадают как точки Е(л, у), для которых [л] < [й],
[у] < 1^1 так и точки, для которых [л] > ]й], [у] > ]^[. Для первых точек имеем
л² + у² < <2² + ^² = 25, а для вторых - л² + у² > 100. Значит, А(<2, ^) - граничная точка для Е.

Задачи для самостоятельной работы

1. 
   Множество Е состоит из всех точек плоскости, обе координаты которых иррациональные числа. Доказать, что любая точка плоскости является предельной точкой для множества Е.
   
2. 
   Множество Е состоит из всех точек плоскости, абсцисса которых рациональна, а ордината иррациональна. Доказать, что любая точка плоскости является предельной для множества Е.
   

3. 
   Множество Е состоит из всех точек плоскости вида
   

где w и и - натуральные числа. Найдите предельные точки множества Е. Ответ: предельными точками для множества Е являются все точки вида

Г1;	у 0		у 0	; 1)
Vw	у		V	'и У

и (0, 0).



3 + -, 4
V и у

4 Построить хотя бы одно множество, для которого предельными были бы точки А(3, 4) и В(-1, 2), и только эти точки

Ответ:


Л


Е


1





например,


и е #


множество


точек


А


1





и


-1 + -, 2
V и у


5. Построить множество, предельными точками для которого явля-
ются все точки вида А(0, и), и - целое число, и только такие точки

У 1 У


Ответ: например, множество точек


w е Е.

—, и
V w у

6. 
   Доказать, что множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют системе неравенств
   

f л + у > 5 [л² + у² < 100
открыто.

6. 
   Доказать, что множество точек плоскости, координаты которых удовлетворяют неравенствам
   

f л + у > 5 [л² + у² < 100
замкнуто.

6. 
   Доказать, что множество Е = (А ^ В) ^ (С ^ D) замкнуто. Если А задается неравенством у > л², В - неравенством л² + у² < 49, С - неравенством л + у > 3 и D - неравенством (л - 4)² + (у -1)² < 81.
   
7. 
   Какие из данных множеств являются областями:
   

1. 
   множество точек, удовлетворяющих неравенству
   

1. 
   < л² + у² < 16;
   

2. 
   множество точек, удовлетворяющих системе неравенств
   

4. 
   < л² + у² < 10 '-1 < у < 1;
   

3. 
   множество, состоящее из двух открытых кругов радиуса 6 с центром в точках О(0, 0) и А(12, 0) соответственно;
   
4. 
   множество, состоящее из тех же кругов (пункт 3) и точки С(6, 0) Отметим, что множество Е называется областью, если оно открыто
   

и любые две его точки можно соединить линией, полностью лежащей в множестве Е.
Ответ: 1) область; 2) не область; 3) не область; 4) не область.