Moliya va moliyaviy texnologiyalar


–aksioma. Ixtiyoriy A F hodisaga uning ehtimoli deb ataluvchi P(A)≥0 son mos qo’yilsin. 2–aksioma


Download 0.68 Mb.
bet2/25
Sana11.01.2023
Hajmi0.68 Mb.
#1088144
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   25
Bog'liq
MATEMATIKA

1–aksioma. Ixtiyoriy A F hodisaga uning ehtimoli deb ataluvchi P(A)≥0 son mos qo’yilsin.
2–aksioma. P(Ω)=1.
3–aksioma. Qo’shish aksiomasi. Agar {An} hodisalar chekli ketma–ketligi juft–jufti bilan birgalikda bo’lmasa, u holda

Ehtimollar nazariyasining ko’pgina masalalarini hal qilishda 3–aksioma o’rniga undan kuchliroq bo’lgan aksiomaga zarurat tug’iladi.
3I–aksioma. Qo’shishning kengaytirilgan aksiomasi. Agar {An} hodisalar chekli ketma–ketligi juft–jufti bilan birgalikda bo’lmasa, u holda

Ehtimolning bu aksioma bilan berilgan xossasi uning sanoqli additivligi deyiladi.
3I–aksiomani unga ekvivalent quyidagi uzluksizlik aksiomasi bilan almashtirish mumkin.
3II–aksioma. Uzluksizlik aksiomasi. Agar F –algebraga tegishli bo’lgan B1,B2, …,Bn,… tasodifiy hodisalar uchun B1 B2 … Bn bajarilsa va o’rinli bo’lsa, u holda bo’ladi.
3I–aksioma va 3II–aksiomaning teng kuchli ekanligini ko’rsatamiz.
3I–aksiomadan 3II–aksiomaning kelib chiqishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, B1,B2,…,Bn,… tasodifiy hodisalar uchun B1 B2 … Bn bo’lsin va bajarilgan bo’lsin, u holda Bn hodisa uchun

bajariladi.
Bu qo’shiluvchilar juft–jufti bilan birgalikda bo’lmagan uchun 3I–aksioma va P( )=0 ga ko’ra

ya’ni P(Bn) yaqinlashuvchi qator ning qoldiq hadidir, demak, da
3II–aksiomadan chekli additivlik bajarilganda 3I–aksiomaning kelib chiqishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, A1, A2,…, An,… juft–jufti bilan birgalikda bo’lmagan hodisalar bo’lib, bo’lsin, u holda Agar Bn ro’y bersa, Ai (i ≥ n) lardan birortasi ro’y beradi. Ak lar juft–jufti bilan birgalikda bo’lmagani uchun Ai+1, Ai+2, … ro’y bermaydi. Demak, Bi+1,Bi+2,…… lar ro’y berishi mumkin bo’lmagan hodisalar bo’ladi, bu esa ning mumkin bo’lmagan hodisa ekanini ko’rsatadi, u holda 3II–aksiomaga ko’ra da , ammo ligidan

<Ω,F,P> uchlik ehtimollik fazosi deyiladi. Shunday qilib, ehtimollik fazosi <Ω,F,P> o’lchovli fazo va F da berilgan manfiy bo’lmagan, normallashtirilgan, sanoqli additiv P o’lchovdan iborat bo’lar ekan, P o’lchov ehtimolning o’lchovi deyiladi.
Odatda, aksiomalar sistemasiga quyidagi talablarni qo’yishadi:

  1. Aksiomalar sistemasining o’zaro zid emasligi.

  2. Aksiomalar sistemasining o’zaro bog’liq emasligi.

  3. Aksiomalar sistemasining to’laligi.

Ehtimollar nazariyasining aksiomalar sistemalari o’zaro zid emas, chunki berilgan aksiomalarni qanoatlantiradigan real obyektlar mavjud.
Misol. Elementar hodisalar fazosi

bo’lsin. Har bir elementar hodisaga sonni mos qo’yamiz, U holda lar teng ehtimolli hodisalar bo’ladi. Ω yordamida
F={Ω, V, { },…, { },…} algebrani tuzamiz, bu sistema 2n ta elementdan iborat bo’ladi. F ga tegishli har bir A hodisa ushbu ko’rinishda yoziladi:

A hodisaning ehtimoli deb quyidagi yig’indini olamiz:

Agar I to’plamning quvvati k bo’lsa,

bo’ladi. F algebrada aniqlangan bu P(A) funksiya barcha aksiomalarni qanoatlantirishini tekshiramiz:

  1. Darhaqiqat, misolimizda

bo’lgani uchun dir;

  1. Haqiqatan ham, ligidan


kelib chiqadi;

  1. bo’lsa,

Agar shartlar bajarilsa, . Faraz qilaylik, I1 ning quvvati k1, I2 ning quvvati k2 bo’lsin, u holda

va

bo’ladi. Demak, Kolmogorov aksiomalari sistemasi zid emas ekan.
Ehtimollar nazariyasining aksiomalari sistemasi to’la emas, ya’ni tayin bir Ω uchun –algebra F da ehtimollik o’lchovi P ni turlicha usulda aniqlash mumkin. Agar tajribamiz shashqaltosh tashlashdan iborat bo’lsa, u holda {ei}, i=1;2;3;4;5;6 hodisalarning ehtimolini shashqaltoshning qandayligiga qarab

yoki, masalan,
;

deb qabul qilish mumkin. Bu aksiomalar sistemasini to’la emasligi uning kamchiligi emas.

Ehtimolning xossalari



  1. P(V)= 0.

Bu natija V Ω=Ω tenglikdan va 2,3–aksiomalardan kelib chiqadi.

  1. P( )=1–P(A).

Bu xossa va dan kelib chiqadi.

  1. Agar bo’lsa, u holdaP(A)≤P(B). dan bu munosabat kelib chiqadi.

  2. .

Bu xossaning isboti 3–xossadan va 1,2–aksiomalardan kelib chiqadi.

  1. , chunki, .

  2. Bu xossaning isboti 5–xossadan kelib chiqadi.

  3. Faraz qilaylik, hodisalar berilgan bo’lsin, u holda



Bu munosabat Bul formulasi deyiladi.



Haqiqatan ham, deb belgilasak, u holda


tenglik o’rinli. Demak,

Misol. O’rniga qo’yishlar haqidagi masala. nta element berilgan bo’lsin. Tasodifiy ravishda bu elementlar ikki marta o’rinlashtiriladi. Hech bo’lmaganda bitta o’rnida qolish ehtimoli topilsin. Hamma o’rin almashtirishlar soni . Aytaylik, hodisa k–elementning o’z o’rnida qolishi bo’lsin. Bu hodisa imkoniyatga ega. ning ehtimoli esa

hodisa k va l elementlarning o’z o’rnida qolish hodisasidan iborat bo’lsin:

va hokazo

hodisa hech bo’lmaganda bitta elementning o’z o’rnida qolish hodisasidir. Shunday qilib, Bul formulasidan foydalansak,



Qavs ichidagi ifoda ning yoyilmasidagi birinchi ta haddan iborat. Shuning uchun, da



Ehtimollikning klassik ta'rifi elementar natijalar soni chekli ekanligini nazarda tutadi. Amalda, bunday natijalar to'plami cheksiz bo'lgan tajribalar mavjud.
Ehtimollikning klassik ta'rifining kamchiliklarini bartaraf etish uchun, ya'ni u cheksiz ko'p natijalarga ega bo'lgan sinovlarga taalluqli emas. 


Download 0.68 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   25




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling