Monoton funksiyalar sinfi

2. Uzluksiz funksiyaning oraliq qiymatlari haqidagi teorema


Teorema. (Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasi)Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lib, f(a)=A, f(b)=B va A<B bo`lsa, u holda A<C<B ni qanoatlantiruvchi har qanday C son uchun shunday c (a;b) son topilib, f(c)=C bo`ladi.
Isbot. Yordamchi (x)=f(x)-C funksiyani olamiz. (x) Bolsano-Koshining birinchi teoremasining barcha shartlarini qanoatlantiradi. Haqiqatan, 1) (x) funksiya [a;b] da uzluksiz, chunki f(x) funksiya [a;b] da uzluksizdir.
2) (a)=f(a)-C<0, (b)=f(b)-C>0.
Shuning uchun (a;b) da shunday c nuqta topiladiki, (c)=0, yoki f(c)-C=0, ya`ni f(c)=C bo`ladi.
Demak, [a;b] da uzluksiz bo`lgan funksiya o`zining ikki qiymati orasidagi barcha qiymatlarni qabul qiladi.
Natija. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, uning qiymatlari biror Y oraliqni tutash to`ldiradi.
Teorema. (Veyershtrassning birinchi teoremasi).
Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda chegaralangan bo`ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish orqali isbotlaymiz. Faraz qilaylik f(x) funksiya yuqoridan chegaralanmagan bo`lsin. U holda ixtiyoriy n son uchun f(x_n)>n ni qanoatlantiradigan x_n [a;b] nuqta topiladi. Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan (x_n) ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin. = [a;b] deylik. Funksiya uzluksiz bo`lganligi uchun f(x ) f( ) bo`ladi. Ikkinchi tomondan f( )>n_k dan f( ) kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
Eslatma: Teoremadagi har bir shart muhim bo`lib, ularning birortasi bajarilmasa teoremaning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin.
Misol. y=tgx funksiya (- ) da uzluksiz, lekin chegaralanmagan.
Misol. f(x)= funksiya [0;1] da aniqlangan, lekin chegaralanmagan.
Teorema. (Veyershtrassning ikkinchi teoremasi).
Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda aniqlangan va uzluksiz bo`lsa, funksiya shu segmentda o`zining aniq quyi va aniq yuqori chegaralariga yerishadi.
Isbot. Teoremaning xulosasini quyidagicha aytish mumkin, ya`ni [a;b] segmentda shunday x<sub>1</sub> va x<sub>2</sub> nuqtalar topiladiki, f(x<sub>1</sub>)= {f(x)}, f(x<sub>2</sub>)= {f(x)} bo`ladi (ya`ni f(x<sub>1</sub>) - f(x) funksiyaning [a;b] segmentdagi eng katta qiymati, f(x<sub>2</sub>) esa eng kichik qiymati).
f(x) funksiya [a;b] da uzluksiz bo`lgani uchun Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan f(x) [a;b] da chegaralangan, demak aniq yuqori va aniq quyi chegaralarga ega:
{f(x)}=M , {f(x)}=m deylik.
Endi [a;b] da biror x₁ nuqtasi uchun f(x₁)=M bo`lishini ko`rsatamiz. Teskarisini faraz qilaylik, ya`ni barcha x [a;b] larda f(x)<M bo`lsin.
funksiyani tuzib olaylik. (x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz, Veyershtrassning birinchi teoremasiga binoan u quyidan chegaralangan bo`ladi, ya`ni shunday >0 son topilib, (x)  bo`ladi. Bundan f(x)< M- bo`lib, M- f(x) funksiyaning yuqori chegarasi ekanligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi.
Eslatma. Teoremadagi har bir shart muxim bo`lib, ularning birortasi bajarilmasa uning xulosasi ham o`rinli bo`lmasligi mumkin.
Misol. f(x)=x-[x] funksiya ixtiyoriy b 1 uchun [a;b] segmentda qiymatlar to`plami E(f)=[0;1) bo`lib, [a;b] da o`zinig yuqori chegarasiga erishmaydi.