Monoton funksiyalar sinfi

Teorema. (Kantor teoremasi) Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lsa, u holda f(x) funksiya shu segmentda tekis uzluksiz bo`ladi.
Isbot. Teoremani teskaridan faraz qilish yo`li bilan isbotlaymiz. Ya`ni [a;b] da uzluksiz bo`lgan f(x) funksiya bu kesmada tekis uzluksiz bo`lmasin. Demak, biror >0 son mavjudki, >0 sonni har qancha kichik qilib olmaylik, [a;b] segmentda shunday x` va x`` nuqtalar topiladiki, |x`-x``|< bo`lsa ham |f(x`)-f(x``)| bo`ladi.
Nolga intiluvchi ,…, ketma-ketlikni olamiz. <sub>n</sub> ning har bir qiymatiga mos ikkita [a;b] topiladiki, ular uchun bo`lib, bo`ladi. [a;b], demak chegaralangan. Undan Bolsano-Veyershtrass teoremasiga binoan yaqinlashuvchi ( ) qismiy ketma-ketlik ajratib olish mumkin: . Geyne ta`rifiga binoan f( ) f( ). tengsizlikka asosan ekanligi kelib chiqadi. Bundan f( ) f( ). Bulardan ekanligi kelib chiqadi.
Ikkinchi tomondan tengsizliklardan ning 0 ga intilmasligi kelib chiqadi. Bu qarama-qarshilik farazimizning noto`g`ri ekanligini ko`rsatadi. Teorema isbotlandi.
Ta`rif: {f(x)}- {f(x)} ayirma f(x) funksiyaning X to`plamdagi tebranishi deb ataladi va = {f(x)}- {f(x)} orqali belgilanadi.
Natija. Agar f(x) funksiya [a;b] segmentda uzluksiz bo`lsa, u holda ixtiyoriy >0 son uchun shunday >0 son topilib, [a;b] segmentni uzunliklari dan kichik bo`laklarga bo`linganda funksiyaning har bir bo`lakdagi tebranishi dan kichik bo`ladi.