Monoton funksiyalar sinfi

3. Teskari funksiyaning mavjudligi va uzliksizligi.


Teorema. Agar f(x) funksiya X oraliqda aniqlangan, uzluksiz va qat`iy o`suvchi (qat`iy kamayuvchi) bo`lsa, bu funksiyaning qiymatlar to`plami Y da unga teskari funksiya mavjud bo`lib, u uzluksiz va qat`iy o`suvchi (kat`iy kamayuvchi) bo`ladi.
Isbot. f(x) funksiya uzluksiz bo`lgani uchun Bolsano-Koshining ikkinchi teoremasiga binoan uning qiymatlari oraliqni tutash to`ldiradi. Shuning uchun har bir y₀ Y ga mos keladigan X topilib, f( )=y₀ bo`ladi. Bu tenglikni qanoatlantiruvchi yagona bo`ladi. Haqiqatan, dan farqli x₁ nuqta olsak, f(x) funksiya monoton bo`lib,  x<sub>1</sub> bo`lgani uchun f( ) f(x₁) bo`ladi. Shunday qilib Y oraliqdan olingan har bir y ga X da f(x)=y tenglikni qanoatlantiradigan yagona x mavjud. Demak, Y oraliqda y=f(x) funksiyaga teskari bo`lgan x=(y) funksiya mavjud.
y=f(x) funksiya o`suvchi bo`lsa, x= (y) ni ham o`suvchi bo`lishini ko`rsatamiz, ya`ni y₁₂ bo`lganda x<sub>12</sub> tengsizlik o`rinli bo`lishini ko`rsatamiz.
Teskarisini faraz qilaylik: y₁₂ bo`lganda x<sub>1</sub>>x<sub>2</sub> bo`lsin. U holda y=f(x) funksiya qat`iy o`suvchi bo`lganligi uchun f(x<sub>1</sub>)>f(x<sub>2</sub>), ya`ni y₁>y₂ bo`ladi. Bu esa y<sub>12</sub> deb olinishga ziddir. Demak, x= (y) funksiya Y da qat`iy o`suvchi.
Monoton funksiyaning uzluksizligi haqidagi teoremaga binoan, x= (y) funksiya Y oraliqda uzluksiz bo`ladi.
y=f(x) funksiya kamayuvchi bo`lganda ham teorema yuqoridagidek isbotlanadi.