Муаллифлар: Абдурахманов. П., физика-математика фанлари доктори, профессор, Эгамов У., физика-математика фанлари

а?⁺w^{(E -U щ}'⁰


(90.1)


Чукурлик деворлари чексиз баланд булгани учун, заррача потенциал тусик ичида булади, уни тусикдан ташкарида топиш эхтимоллиги нолга тенгдир. Чукурлик чегарасида узлуксиз тулкин функцияси хам нолга айланади. Демак, чегаравий шартни куйидагича ифодалаш мумкин:


щ⁽⁰⁾ = щ^) = ⁰


(90.2)


Чукурлик ичида Шредингер тенгламаси куйидаги куринишни олади:


283

8 V 2т

• 
  + ТТ^EV^-0
  

8х h
ёки
8 V j 2 _п
8? ^{+ k}V ^{- 0}, (90.3)
бу ерда ^{k 2 -} тт ^Е га тенг. h
Дифференциал тенгламанинг умумий ечими куйидагича ифодаланади:
V(х) - A sin kx + B cos kx
Чегаравий шарт v(0) = 0 булгани учун В = 0. У холда
V(X) - A sin kx, (90.4)
^v(£^{) - A sin} Ы ^{- 0} шарт факат куйидаги холларда бажарилади
М - пп
Бу ерда п - бутун сонлар,


(90.5)


, пп
k - —
£ ^,
заррача энергиясининг хусусий кийматлари
2^2+ 2
п п h _₁₀а \ ^{Еп -} 2т£^{2 (П - 1,2,35} (^{90 6})
га тенг булади. Демак, деворлари чексиз баланд булган потенциал чукурликдаги заррача энергияси Е_п факат аниц дискрет цийматларга эга булади, яъни квантланган булади.
Энергиянинг квантланган кийматлари энергетик сатулар деб аталади, бу энергетик сатхларни белиловчи п сон бош квант сони деб аталади.


284

	п Ь i ^ А 3 Е3	^k 1ВД|^2 -
ЧУ
	г\ Г
	1 Г
	—►

п

163. 
     - расм. Хусусий функциялар ва уларнинг энергияларини бош квант сонларига боглицлик графиги
     

285

Расмдан, n = 2 булганда заррачани чукурлик уртасида булиш

эхтимоллиги нолга тенг. Иккита энергетик сатхлар орасидаги
энергетик масофа куйидагига тенг булади:
nh² +₁₎ n²h²
7 (2n + 1) « ;
2ml mi<sup>2


АЕ</sup>„ = ^En+1 ^{— E}n =—2⁽²ⁿ +^1)K~~7Tⁿ , (90.8)


Мисол учун, чукурлик кенглиги i = 10 ¹ м булганда электроннинг кушни сохалардаги энергетик фарки


АЕ ® 10^—35 n ■ Ж » 10^—16 n ■ эВ


n


га тенг булади. Демак энергетик сатхлар бир - бирига жуда якин жойлашгандир.
Агарда потенциал чукурлик кенглиги атом улчамларига якин (i « 10 ¹⁰ м) булса, электрон учун
АЕ_п » 10^—7 n ■ Ж » 10² пэВ
булади.

91. 
    - §. Заррачанинг потенциал тусиц орцали утиши. Туннель эффекти
    

Заррачанинг бир улчамли, х уки буйлаб, энг содда тугри бурчак шаклидаги потенциал тусик оркали харакатини кузатайлик (165 - расм).
Тугри бурчак шаклидаги потенциал тусик баландлиги U ва кенглиги i булган хол учун чегаравий шартларни келтирамиз.
0, x < 0 1—с. U(x) = < U, 0 < x < i 2—с. 0, x > i 3—с.
V
Бу чегаравий шартларда, Е энергияли классик заррача потенциал тусикка дуч келганда: Е > U булганда тусик устидан утади, Е < U


286




булганда тусикдан урилиб кайтиб, орка томонга харакат килади, яъни заррача тусик оркали утаолмайди.






165 - расм. Тугри турт бурчак шаклидаги потенциал тусиц


Микрозаррача (квант заррача) энергияси E > U булган холда, тусик устидан утишидан ташкари, заррача тусикка урилиб, оркага кайтиш эхтимоли нолдан фаркли булиши мумкин. Унинг энергияси E < U булганда хам, заррача х > l сохада булиш эхтимоли нолдан фаркли булиши мумкин, яъни заррача тусик оркали утиши мумкин.
Стационар холатлар учун Шредингер тенгламаси, 1- ва 3­

2. 
   2mE Л
   

k — —— булганда, куйидаги куринишга эга булади.


сохаларда,


h


дх²


+ k у 3 — 0


2 - соха учун,


q


2m(E - U)


булганда,


^{3 2}У 2 дх²


+ q = ⁰


(91.1)


Бу дифференциал тенгламаларнинг умумий ечимлари тегишли сохаларда куйидаги куринишларга эга булади:

1. 
   - соха учун:
   
2. 
   - соха учун:
   

у₁( х) — A₁e^lkx + B₁e ^у2^(х) = ^A2^e'^kX + ^B2^e


- ikx


(91.2)


3


287

3 - соха учун:

/₃( x) = A₃ e^ikx + B₃ e^-kx


(91.3)


Хусусан, 1 - соха учун тулик тулкин функцияси куйидагича ифодаланади:
-—Et —( Et-p ,x) ~( Et+p ,x )
y/_l(x,t) = /_X(x)e ^h = A_xe ^h + B_xe ^h , (91.4)
Бу ифоданинг 1- хади x - уки буйлаб таркалаётган ясси тулкин куринишига эга, иккинчи хади эса, x - укига тескари йуналишда таркалаётган ясси тулкиндан иборат. 3 - сохада тулкин факат x - уки буйлаб таркалади ва орка томонга таркалмайди, шу сабабли, 3 - ифодада В₃ коэффициент нолга тенг булади.

2. 
   - соха учун ечим E > U ва E < U нисбатларга боглик булади. E < U хол алохида кизикиш тугдиради, чунки классик заррача бу холда
   

потенциал тусик ичида булаолмайди.