Муаллифлар: Абдурахманов. П., физика-математика фанлари доктори, профессор, Эгамов У., физика-математика фанлари

177 - расм. Идеал газ молекулаларининг тезлик буйича тацсимоти
Эхтимоллиги катта булган тезликни хисоблаш учун (100.1) ифодани v - тезлик буйича дифференциаллаб, уни нолга тенглаштириш керак, яъни функциянинг экстремумини топиш керак:


d_
dv


v² e


m₀v
" 2 kT


2 \


= 2v


m₀v


2 kT


2 \ m₀v
e


2 kT _


= 0


J


1


315

1) Бу функицянинг хосиласи и = 0 да нолга тенг булади. Бу хам функциянинг экстремуми, аммо тезликни нолга тенг киймати мантикка эга булмагани учун уни эътиборга олмаймиз.

2)


i - тти₌о


2 kT


^иэ%т *


2kT


m_n


яъни


^иэ%т


у


2kT


m_n


2RT


(100.2)


Бу ифодадан куриниб турибдики, температура ошганда таксимот функцияси максимуми унгга силжийди, аммо бу холда эгри чизик остидаги юза микдори узгармайди (178 - расм).
Молекулаларнинг уртача тезлиги <и> куйидаги ифода билан аникланади:

1. 
   ГО ГО
   

• 
  и >= — ! udN(и) = J иf (и)du ^N 0 0
  

178 - расм. Тацсимот функциясининг температурага богликдиги


Бу ифодага Ди) функцияни куйиш ва интеграллаш натижасида куйидагига эга буламиз:
18 kT 18 RT

• 
  и >= J = , (100.3)
  

nm ₀ \nju ^{v 7}


316




Умуман газ холатини белгиловчи тезликлар куйидагилардан иборат:

1. 
   Эхтимоллиги энг катта тезлик, v^_m =
   

2kT


m_n


VJ
2. Уртача тезлик,


< v >=


8kT
_шп = ^1,33


VJ

3. 
   Уртача квадратик тезлик,
   

< ^v_Ke >=


3kT
m =¹,^{22 v3}%m


Молекулаларнинг тезликлари буйича таксимотидан фойдаланиб уларнинг кинетик энергияси буйича таксимотини хисоблаб курамиз:


dN (v) = N 4n


/ \ 3/
^{А m}0 ^v2
v 2nkT j


m0v


v²e ^2kT dv


функциянинг узгарувчиси деб s = ни олсак


и


^2s dv = (2m₀s) У2ds


^m0

2. 
   N , ч 3/ 1/ s/ dN(s) = ^=(kT) /2s^²e /^kTds = N(s)ds л/n
   

(100.4)


бу ерда dN(s)-илгариланма харакат кинетик энергияси s дан s + ds гача булган интервалдаги молекулалар сонидир.
Шундай килиб, иссиклик харакати энергияси буйича молекулаларнинг таксимот функцияси куйидагича булади.

2. 
   -V V s/
   f (s) = -±= (kT) ^/2 s^/2e ^/kT,
   

(100.5)


Идеал газнинг уртача кинетик энергияси < s > куйидагига тенг:

2. 
   _Ъ/ ю 1 __s/
   

• 
  s >= j sf (s)ds = —j= (kT) ^² j s^²e ^/kTds
  

■J n


о


о


3

• 
  s >^ kT .
  

2


317

97. 
    - §. Барометрик формула. Больцман таксимоти
    

Газлар молекуляр - кинетик назариясининг асосий тенгламаси ва молекулаларнинг тезликларга боглик Максвелл таксимотини келтириб чикаришда газ молекулаларига ташки кучлар таъсир этмайди деб фараз килинган эди. Шунинг учун молекулаларни хажм буйича бир текис таксимланган, деб хисобладик. Аммо, исталган газ молекулалари Ернинг, тортишиш хусусиятига эга булган, потенциал майдони таъсирида булади. Бир тарафдан гравитациявий тортишиш ва иккинчи тарафдан молекулаларнинг иссиклик харакати газнинг кандайдир стационар холатга, яъни босимнинг баландлик буйича камайишига олиб келади.
Барча молекулалар массаларини бир хил, хаво температурасини узгармас, тортишиш майдонини бир жинсли, деб хисоблаймиз. Агарда h баландликда атмосфера босими Р га тенг булса, h + dh баландликда эса босим Р + AP га тенгдир. dh > 0 булганда, dP < 0 (179 - расм).
h, h + dh баландликдаги босимлар фарки, асоси бирлик юза, баландлиги dh га тенг булган цилиндр хажмида жойлашган газ огирлигига тенг булади:
P - (P + dP) = pgdh






179 - расм. Газбосиминингбаландликкабогликлиги
бу ерда р - h баландликдаги газнинг зичлигидир (dh жуда кичик булгани учун, баландлик узгарадиган сохада газ зичлигини узгармас,
деб хисобланади). Демак,


318

dP = pgdh,

(101.1)


Идеал газнинг холат тенгламасидан
m
PV = — RT
М
фойдаланиб, газ зичлигини куйидагича ифодалаймиз:
m Pm
Р = — =

• 
  RT
  

Бу ифодани (101.1) - тенгликка куйсак,
dP = - gdh
RT
га эга буламиз.
dP м


P RT


gdh


Бу тенгликни Р₁ дан Р₂ гача ва h₁ дан h₂ гача сохалар буйича интегралласак, куйидаги ифодани келтириб чикарамиз.

• 
  Mg (h2 -h )
  

P2 = P1 e ^RT , (101.2)
\h-RT с р₁
ва бундан ^Ah = р га тенг эканлигини аниклаймиз. (101.2) -
ифода барометрик формула деб аталади. Бу формула баландликка боглик атмосфера босимини еки босим аник булганда баландлик кийматини топиш имкониятларини беради.
Баландлик доимо денгиз сатхига нисбатан олинишини эсласак, денгиз сатхида босимни нормал атмосфера босими деб хисоблаймиз. У холда (101.2) - ифодани куйидагича кайта езиш мумкин:

•