Муаллифлар: Абдурахманов. П., физика-математика фанлари доктори, профессор, Эгамов У., физика-математика фанлари

115 - § Микрозаррачаларнинг холатлари сони ва зичлиги


Классик механикада заррача холатини, унинг учта х, у, z координаталари ва импульсининг учта ташкил этувчилари (p_x, p_y, p_z)
билан белгилаш мумкин. x, y, z, p _x , p _y , p _z координата укларига эга
булган олти улчамли фазони тасаввур киламиз. Бу фазода заррачанинг хар бир моментдаги холати (x, y, z, p_x, p _y , p _z ) нукта билан
аникланади ва бунга ухшаш нукталар фазовий нукталар деб аталади. Фазовий хажм элементи куйидаги катталик билан ифодаланади.
ЛГ = ЛГ^Л^ = dx dy dz dp_x dp_y dp_z (115.1)
Бу ерда Ar_v = dxdydz координаталар фазоси хажми элементини,
^Ar_p = ^dp_x ^dp_y ^dp_z - импульслар фазоси хажми элементини белгилайди.
Классик заррачанинг координаталари ва импульслари узлуксиз узгаргани учун, Ar_v АГ_р элементлар ва улар билан АГ элемент имкони борича кичик булиши керак.
о
Узаро таъсирлашмайдиган, ташки майдон таъсирида булмаган заррачалар тизими учун заррачалар потенциал энергияси нолга тенг булади. Бундай заррачалар эркин заррачалар деб аталади. Бу заррачалар учун олти улчамли фазо урнига уч улчамли импульслар фазосидан фойдаланиш кулай, чунки заррачалар холатига хеч кандай чеклашлар куйилмагани учун, Ar_v фазо элементи - заррачалар харакатланадиган оддий хажмга тенгдир.
Агарда заррачалар тулкин хусусиятига эга булсалар, олти улчамли фазони оддий элементларга ажратиб булмайди. Заррачаларнинг тулкин
хусусиятига эга булиши, dx, dy, dz, dp_x, dp_y, dp _z фазо элементи % дан
кичик булса, ноаникликлар принципига асосан x, y, z, p_x, p_y, p_z ва
x + dx, y + dy , z + dz, p + dp_x, p_y + dp_y, pz + dp_z икки холатни бир-
биридан ажратиб булмайди. Бошкача килиб айтганда, фазо элементи %³ дан кичик булмаган такдирда, микрозаррачаларнинг квант холатига тугри келади. Шу сабабли, квант статистикасида олти улчамли
фазонинг (энг кичик катаги) элементар ячейкаси %³ га тенг деб олинади.


352

ДГ = АГ _V ДГ p = h³,

(115.2)


Эркин микрозаррачалар учун


^{h 3} (115.3)


ДГ „ =
^p 3
Х,ар бир шундай элементга бир - биридан ажратиб буладиган квант холат тугри келади.
₃ h³
Олти улчамли фазони h ёки ^ чекли улчамли катакларга булиш фазони квантлаш деб аталади.


^олатлар зичлиги


Заррачаларнинг Е дан Е + dE энергия булагига тугри келган
холатлар сонини хисоблаб курамиз. Импульслар фазосида радиуслари
р ва р + dp булган иккита сферани ажратиб оламиз (192 - расм). Бу
сфералар орасида хажми 4np³dp га тенг булган шар катлами
жойлашган. Бу шар катламига тугри келган элементар катакчалар сони
куйидагига тенгдир:
4лр³ dp 4nV
~ ' ' ' (115.4)


ДГ


р


p² dp


Pz






192-расм.Сферик импульслар фазосида 4np dp хаажмли шар
цатлами


353




Х,ар бир элементар катакчага микрозаррачанинг битта холати тугри келгани учун dр импульс кенглигига тугри келадиган холатлар сони
g(p)dp _ -^tp^2dp , (115.5)
га тенг булади.
Эркин заррачалар учун куйидаги ифодалар:
_p 2 2 p ,
E = v_ ^dE _— ^dp p ₌ 7 2 mE m ^m
dp _ . ^m dE л/2 mE


уринли булгани учун, холатлар сонини куйидагича ифодалаш мумкин:
g(E)dE _ ^ = (2ш)^,п4Ё ■ dE (115.6)
п
Ана шу, Е ва Е + dE энергетик ораликдаги dE энергия интервалига
с/
тугри келган микрозаррачаларнинг холатлар сонидир. Уз навбатида холатлар зичлиги куйидагига тенгдир:
g(E)_ ^■ (2m)^3/2VE , (115.7)
п³






193 - расм. ^олатлар зичлигининг энергияга боглицлиги


354

Бу ифодадан, Е энергия ортиши билан холатлар зичлиги 4! га пропорционал равишда ортиб бориши куриниб турибди (193 - расм).

Ундан ташкари, холатлар зичлиги заррачалар массаси ортиши билан хам усиб боради.
Микрозаррачалар сифатида электронларни олсак, хар бир элементар катакчаларга спинлари билан фарк киладиган иккита квант холати тугри келади.
Шу сабабли, электронлар учун холатлар сони ва зичлиги куйидагича булади:
g ⁽P )dp = P² dp , (115.8)
g(E)dE = j--(2mf'-JIdE , (115.9)


g(E)= j - (2mУ'²4Ё , (115.10)

116. 
     - §. Идеал газнинг айнимаслик шарти
     

Хрлатлар зичлиги ифодасини 0 дан Е гача кенгликда энергия буйича интегралласак, шу энергетик интервалга тугри келган микрозаррачаларнинг холатлар сонини аниклашимиз мумкин:
G = -(2m)^3/"² E^3/2 h³ 3
Заррачаларнинг илгариланма харакат кинетик энергиясининг