Муаллифлар: Абдурахманов. П., физика-математика фанлари доктори, профессор, Эгамов У., физика-математика фанлари

dQ_
T


= dS , (112.3)


Бу ерда S - функция уолат функцияси ёки энтропия деб аталади.
(112.3) - ифодадан кайтар жараёнлар учун энтропиянинг узгариши нолга тенгдир:
A S = 0 , (112.4)
Термодинамикада, кайтмас жараёнларни вужудга келтирувчи тизимнинг энтропияси ортиши исботланган:
AS > 0 , (112.5)
(112.4)- ва (112.5)- ифодалардан Клаузиус тенгсизлигини келтириб чикариш мумкин:
AS > 0 , (112.6)
яъни, ёпик тизимларнинг энтропияси кайтар жараёнларда узгармасдан колиши, кайтмас жараёнларда эса ортиши мумкин.
Агарда тизим 1 - холатдан 3 - холатга мувозанатли утса,

3. 
   - ифодага асосан энтропиянинг узгариши куйидагича булади:
   

Л _S С С 3 dQ г dU + дЛ
^AS^3 = ^S3 ^{- S}1 = J -^T = J _T , (112.7)


345




Бу ерда энтропия эмас, балки энтропиялар фарки физик маънога эгадир. (112.7) - ифодага асосланиб, айрим жараёнларда идеал газ энтропиясининг узгаришини кузатамиз:


булгани учун


ёки


dU - ^— C_VdT SA - pdV - ^— R — u ⁹ U V


AS^ 3 - S 3- S, - —c,T ^dT-+—r\ ^ ^{3 3 1} _u ^V1 T _U ^J V
Д4¹ rji _1_ Д4¹ т7 T

• 
  T V \
  

AS^ - S3 — S. - - (Cv ln -2 + R ln V2 ) , (112.8)
U ^T1 ^V1

1. 
   - холатдан 3 - холатга утишда, идеал газнинг энтропияси узгариши AS₁^₃ утиш жараёнининг 1^3 куринишига боглик эмас. Чунки адиабатик жараёнда SQ = 0 га тенг булади ёки AS = 0 га тенг булади ёки S = const.
   

Изотермик жараёнда эса Т₁ = Т₂, шу сабабли
_ЛО — _n1 V₂ AS - — R ln-^
U V
Изохорик жараёнда эса V₁ = V₂.


-T
AS - ^—C_V ln
U ^T1
булади.
Статистик физикада энтропия тизим холатининг термодинамик эхтимоллиги билан богланади ва жуда чукур маънога эга булади.
Тизим холатининг термодинамик эхтимоллиги - макроскопик тизим холати кандай усул билан хосил килинганлигини билдиради ёки берилган макрохолат нечта микрохолатлардан иборат эканлигини билдиради.
Больцман таърифи буйича, тизимнинг S энтропияси ва термодинамик эхтимоллиги куйидагича боглангандир


S - klnw, (112.9)


346

бу ерда k - Больцман доимийси. Демак, энтропия термодинамик тизим холати эхтимоллигининг курсаткичидир ёки энтропия тизим тартибсизлиги даражасининг улчовидир. Хдкикатда, тизим х,олатини белгиловчи мумкин булган холатлар сони канча куп булса, тизимнинг тартибсизлик даражаси ёки энтропияси шунча катта булади. Шу сабабли, кайтмас жараёнларда тизимнинг энтропияси доимо ортиб боради.

Термодинамиканинг биринчи конуни энергиянинг сакланиши ва бир турдан иккинчи турга айланиши мумкинлигини ифодаласа хам, термодинамик жараёнларнинг кечиш йуналишларини курсата олмайди.
Масалан, электр чойнак оркали электр энергиясини иссиклик энергиясига айлантириб, маълум микдордаги сувни кайнатиш мумкин, яъни энергияни бир турдан - электр энергиясидан иккинчи турга - иссиклик энергиясига айлантириш мумкин. Аммо термодинамиканинг биринчи конуни, уша микдордаги кайнаган сув иссиклик энергиясини электр энергиясига айлантиришни инкор этмаса хам, жараён йуналишини курсата олмайди.
Шундай килиб, термодинамиканинг биринчи конуни термодинамик жараёнлар содир булишнинг эхтимоллик даражасини мутлако курсата олмайди.
Термодинамиканинг иккинчи конуни, табиатда кандай жараёнлар мумкин, кайсилари мумкин эмаслигини - жараёнларнинг узгариш йуналишларини аниклаш оркали белгилаб бераолади.
Энтропия тушунчаси ва Клаузиус тенгсизлиги оркали термодинамиканинг иккинчи конунини шундай таърифлаш мумкин: ёпик тизимлардаги исталган кайтмас жараёнларда тизим энтропияси ошиб боради.
Иккинчи тарафдан, идеал машинанинг фойдали иш коэффициенти
„ _ ^Q1 ^{- Q} 2 _ ^T1 ^{- T}2 Qi t,
га тенг эди, яъни иситгич ва совутгичлар температуралари фарки канча катта булса, фойдали иш коэфциенти хам шунча катта булади. Исталган фойдали иш бажарилганда, тизимнинг колган энергияси фойдаланиб булмайдиган бошка турдаги энергияларга айланади. Бошкача килиб айтганда, энергиянинг куп кисми фойдали куринишга эга булмайди,


347




сифатсиз куринишга утади. Шу сабабли, энтропия доимо энергия сифатининг бузилганлик даражасини билдиради.
Термодинамиканинг иккинчи конунини яна куйидагича таърифлаш мумкин:

1. 
   - Кельвин таърифи: Иситгичдан олинган иссиклик микдорини факат шунга эквивалент булган ишга айлантирувчи айланма жараёнлар булиши мумкин эмас;
   
2. 
   - Клаузиус таърифи: Температураси паст булган жисмга иссиклик берувчи факат ягона жараёндан иборат айланма жараён булиши мумкин эмас.
   

Назорат саволлари

1. 
   Идеал газ нима? Унинг параметрлари деганда нимани тушунасиз? Термодинамик жараён нима? Идеал газнинг холат тенгламасини ёзинг.
   
2. 
   Молекуляр - кинетик назариянинг асосий принципларини санаб утинг. Унинг асосий тенгламаси кандай куринишда ифодаланади?
   
3. 
   Молекулаларнинг тезликлар буйича таксимотини, молекулаларнинг уртача, уртача квадрат ва эхтимоллиги энг катта булган тезликлари ифодаларини ёзиб беринг.
   
4. 
   Барометрик формулани келтириб чикаринг. Больцман таксимоти кандай катталикларни узаро боглайди? Максвелл-Больцман конунини ёзиб беринг.
   
5. 
   Молекулаларнинг иссиклик харакати энергияси формуласини ёзинг. Эркинлик даражасини тушунтиринг.
   
6. 
   Термодинамиканинг I конунини, таърифи ва ифодасини ёзинг. Иссиклик сигими нима?
   
7. 
   Газларнинг бажарган иши, ички энергия ифодаларини ёзинг. Иссиклик сигими нима?
   
8. 
   Турли изожараёнларда бажарилган иш, иссиклик сигими ва термодинамиканинг I конунини тушунтиринг.
   

348

XI Боб. КЛАССИК ВА КВАНТ СТАТИСТИКАЛАРИ

113. 
     - §. Айниган ва айнимаган электрон газлар
     

Исталган каттик жисм куп сонли микрозаррачалардан иборат булган тизим ёки тупламни тасаввур этади. Бу тизимларда узига хос статистик конуниятлар намоён булади ва уларни статистик физика ёки физикавий статистика урганади.
Барча микрозаррачаларни, тупламда узини тутишига караб, икки гурухга ажратиш мумкин: фермион ва бозонларга.
h 3h
Фермионларга спинлари яримга каррали: —, —булган
^2 ^2
электронлар, протонлар ва нейтронларга ухшаш заррачалар киради.
Бозонларга спинлари бутун сон: 0, h ,2h,..., булган фотонлар, фононлар ва бошка заррачалар киради.
Тупламда фермионлар «яккаланишга» интилишлари яккол куриниб туради. Агар, берилган квант холати фермион билан банд булса, у холда, Паули принципига асосан шунга ухшаш хеч кандай фермион шу квант холатида була олмайди.
Бозонлар эса, аксинча тупланиш хусусиятига эга булганлиги учун, бир энергетик сатхда чекланмаган микдорда жойлашишлари мумкин.
Заррачаларнинг узига хослиги туплам хусусиятига таъсир килиш мумкинлигини куриб чикамиз.
Микрозаррачаларнинг узига хослиги намоён булиши учун улар бир - бири билан тез - тез учрашиб туришлари лозим. Бу ерда, учрашиш дейилганда, иккита заррачанинг худди уша квант холатига тушиши кузда тутилади.
Фараз килайлик, N та бир хил заррачаларга, алохида микрозаррача жойлашадиган G та хар хил квант холатлар тугри келсин. Учрашишлар частотаси улчови сифатида N/G нисбат хизмат килсин. Агар, куйидаги шарт бажарилса:
^N << 1 , (113.1)
G


микрозаррачалар ахён - ахёнда учрашади. Бу холда, хар хил вакант холатлар сони микрозаррачалар сонидан жуда каттадир: G>>N.
Бундай шароитларда фермионлар ва бозонларнинг узига хос хусусиятлари намоён була олмайди, чунки хар бир микрозаррача


349




ихтиёрида анча турли холатлар бор ва бирдан - бир квант холатни бир неча заррачалар эгаллаш муаммоси пайдо булмайди. Шу сабабли, туплам хусусияти тулалигича микрозаррачаларнинг узига хослигига боглик эмас.
Бундай тупламлар айнимаган, (113.1) - шарт эса, айнимаслик шарти деб аталади.
Агарда G холатлар сони N заррачалар сони билан бир тартибда булса, яъни
^N * 1 , (113.2)
G
шарт бажарилса, алохида холатни якка тартибда ёки куплаб микрозаррачалар эгаллаши мухим ахамиятга эга була бошлайди. Бу холда микрозаррачаларнинг узига хос хусусиятлари тула намоён булади ва туплам хусусиятига таъсир эта бошлайди. Бундай тупламлар айниган тупламлар деб аталади. Айнимаган туплам квантомеханикавий хусусиятларга эга булган заррачалардан хам хосил булиши мумкин, чунки бу заррачалар холатлари дискрет узгаради, унинг окибатида G мумкин булган холатлар сони чекланган булади.
G холатлар сони доимо чексиз катта булганда классик заррачалар холати параметрлари улуксиз узгариб туради, унинг окибатида бундай тупламлар доимо айнимаган туплам булади.
Айнимаган тупламлар хусусиятини урганадиган физикавий статистика классик статистика ёки Максвелл - Больцман статистикаси деб аталади.
Айниган тупламлар хусусиятини урганадиган физикавий статистика квант статистикаси деб аталади.
Заррачаларнинг узига хос хусусиятларини айниган туплам хусусиятига таъсири, фермионлар айниган туплами билан бозонлар айниган туплами орасида сезиларли фаркни келтириб чикаради. Шу сабабли, иккита квант статистикасини фарк киладилар.
Фермионлар квант статистикасини, Э.Ферми ва А.Дирак номлари билан боглаб, Ферми - Дирак статистикаси деб аташади.
Бозонлар квант статистикасини Бозе ва А. Эйнштейн номи билан боглаб, Бозе - Эйнштейн статистикаси деб аташади.
Квант статистикасида факат квант заррачалар туплами булиши зарур. Классик статистикада эса, классик ва квант заррачалар катнашиши мумкин. Тупламда заррачалар сони камаяборса ёки


350




холатлар сони ортиб борса айниган туплам хам айнимаган холатга утиши мукаррар. Бу холда фермионлар еки бозонлар табиатига эга булган туплам Максвелл - Больцман статистикаси билан ифодаланади.

113. 
     - §. Таксимот функциялари
     

Туплам холатини белгилаш учун унинг термодинамик параметрларини курсатиш лозим. Заррачалар холатини белгилаш учун уларнинг координаталари ва импульсларининг ташкил этувчиларини келтириш лозим. Бу икки катталикларнинг узаро богланишини статистик таксимот функцияси амалга оширади
^Nмб^(е)^{dE , (1141)}
Nмб(Е )dE - холати II ва Т термодинамик параметрлар билан ифодаланадиган тизимдаги, Е дан Е + dE гача энергетик ораликдаги заррачалар сонини белгилайди. Бундай функция туда статистик тацсимот функцияси деб аталади.
Тула таксимот функциясини dE энергетик ораликка тугри келадиган g(E)dE холатлар сонини, бу холатларни заррачалар эгаллаши мумкин булган эхтимоликка купайтмасидан иборат, деб тасаввур этиш мумкин:
N (E )dE = f (E )g (E )dE , (114.2)
fE) - функция тацсимот функцияси деб аталади ва у берилган холатларни заррачалар эгаллаши эхтимоллигини ифодалайди. Масалан, 100 та енма-ен турган энергетик холатларга 10 та заррача тугри келса, уларни заррачалар эгаллаш эхтимоллиги
f (e ) = 0,1
га тенг булади. Х,ар бир холатга уртача 0,1 та заррача тугри келгани учун, f E) функция шу холатда турган заррачаларнинг уртача сонини курсатади.


351