Mualliflar: Abduraxmanov. P., fizika-matematika fanlari doktori, professor, Egamov U., fizika-matematika fanlari

Bu tenglamaning xususiy echimi kuyidagi funksiyadan iboratdir:
/(x) = Ae^ikx
Buerda A = sonst, k = sonst. Energiyaning xususiy kiymatlari
= n² k^2
E=im, ⁽⁸⁹²⁾
dan iborat bo’ladi.


281

ikx — V 2mE'x

^{u(x) — Ae — Ae6} - funksiya u ( x, t) to’lqin funksiyaning
koordinataga tegishli qismidir.
Erkin zarracha xarakatining vaktga bog’liq to’lqin funksiyasi
kuyidagidan iborat:
■ + -1 —“ (Et-P_xx)
u( x, t) — A-^M+ikx — A⁶ , (89.3)
bu erda

• 
  E ₇ P
  

® ^— 6 va ^k
Vaktga bog’liq funksiya de Broylning yassi monoxramatik to’lqinidir.
Energiyaning xususiy kiymatlari ifodasidan energiyaning
impulsga bog’liqligini urnatishimiz mumkin
Z7 6²k² Pi
E — -


2m 2m
Erkin zarrachaning energiyasi istalgan kiymatlarni kabul kilishi mumkin, ya’ni uning energetik spektri uzluksiz bo’ladi.
SHunday kilib erkin kvant zarracha de Broylning yassi monoxromatik to’lqini bilan ifodalanadi. Bu xolda fazoning berilgan nuqtasida vaktga bog’liq bulmagan zarrachani bulish extimolligi zichligi kuyidagiga teng bo’ladi:
|u|² — uu* — |A|²
va u istalgan nuqtalarda uzgarmas bo’ladi.

76. 
    - §. Devorlari cheksiz baland bulgan potensial chukurlikdagi zarrachaning polati
    

Bunday chukurlik kuyidagi potensial energiya bilan ifodalanadi (163 - rasm):


282

i (x) =

go, x < 0,
0, 0 < x < t,
go, x > t.


bu erda t - chukurlik kengligi, zarracha energiyasining xisob boshi potensial chukurlik tubida yotadi.

163. 
     - rasm. Devorlari cheksiz baland bulgan potensial chukurlik
     

Statsionar xolat uchun SHredinger tenglamasi bir o’lchamli masalalarda kuyidagi kurinishga ega bo’ladi:


d ²щ 2m
a?⁺w^{(E -U щ}'⁰


(90.1)


CHukurlik devorlari cheksiz baland bulgani uchun, zarracha potensial tusik ichida bo’ladi, uni tusikdan tashkarida topish extimolligi nolga tengdir. CHukurlik chegarasida uzluksiz to’lqin funksiyasi xam nolga aylanadi. Demak, chegaraviy shartni kuyidagicha ifodalash mumkin:


щ⁽⁰⁾ = щ^) = ⁰


(90.2)


CHukurlik ichida SHredinger tenglamasi kuyidagi kurinishni oladi:


283

8 V 2t

• 
  + TT^EV^-0
  

8x h
yoki
8 V j 2 _p
8? ^{+ k}V ^{- 0}, (90.3)
bu erda ^{k 2 -} tt ^E ga teng. h
Differensial tenglamaning umumiy echimi kuyidagicha ifodalanadi:
V(x) - A sin kx + B cos kx
CHegaraviy shart v(0) = 0 bulgani uchun V = 0. U xolda
V(X) - A sin kx, (90.4)
^v(£^{) - A sin} Ы ^{- 0} shart fakat kuyidagi xollarda bajariladi
M - pp
Bu erda p - butun sonlar,


(90.5)


, pp
k - —
£ ^,
zarracha energiyasining xususiy kiymatlari
2^2+ 2
p p h _₁₀a \ ^{Ep -} 2t£^{2 (P - 1,2,35} (^{90 6})
ga teng bo’ladi. Demak, devorlari cheksiz baland bulgan potensial chukurlikdagi zarracha energiyasi E_p fakat anits diskretssiymatlarga ega bo’ladi, ya’ni kvantlangan bo’ladi.
Energiyaning kvantlangan kiymatlari energetik satular deb ataladi, bu energetik satxlarni belilovchi p son bosh kvant soni deb ataladi.


284

	p i ^ A 3 E3	^k 1VD|^2 -
CHU
	g\ G
	1 G
	—►

p

163. 
     - rasm. Xususiy funksiyalar va ularning energiyalarini bosh kvant sonlariga boglitslik grafigi
     

285

Rasmdan, n = 2 bulganda zarrachani chukurlik urtasida bulish

extimolligi nolga teng. Ikkita energetik satxlar orasidagi
energetik masofa kuyidagiga teng bo’ladi:
nh² +₁₎ n²h²
7 (2n + 1) « ;
2ml mi<sup>2


AE</sup>„ = ^En+1 ^{— E}n =—2⁽²ⁿ +^1)K~~7Tⁿ , (90.8)


Misol uchun, chukurlik kengligi i = 10 ¹ m bulganda elektronning kushni sohalardagi energetik farqi


AE ® 10^—35 n ■ J » 10^—16 n ■ eV


n


ga teng bo’ladi. Demak energetik satxlar bir - biriga juda yakin joylashgandir.
Agarda potensial chukurlik kengligi atom o’lchamlariga yakin (i « 10 ¹⁰ m) bo’lsa, elektron uchun
AE_p » 10^—7 n ■ J » 10² peV
bo’ladi.

91. 
    - §. Zarrachaning potensial tusits orsali utishi. Tunnel effekti
    

Zarrachaning bir o’lchamli, x uki buylab, eng sodda to’g’ri burchak shaklidagi potensial tusik orkali xarakatini kuzataylik (165 - rasm).
To’g’ri burchak shaklidagi potensial tusik balandligi U va kengligi i bulgan xol uchun chegaraviy shartlarni keltiramiz.
0, x < 0 1—s. U(x) = < U, 0 < x < i 2—s. 0, x > i 3—s.
V
Bu chegaraviy shartlarda, E energiyali klassik zarracha potensial tusikka duch kelganda: E > U bulganda tusik ustidan utadi, E < U