Mualliflar: Abduraxmanov. P., fizika-matematika fanlari doktori, professor, Egamov U., fizika-matematika fanlari

W - extimollik to’lqin funksiyasi modulining kvadratiga proporsionaldir:
W ~ /( x, y, z, t)|², (87.1)


² * *
Bu erda / =, / — / funksiyaga mos mavxum funksiyadir.
Demak, mikrozarracha xolatini to’lqin funksiyasi orkali ta’riflash, statistik yoki extimollik tusga egadir. To’lqin funksiyasi modulining kvadrati t vaktda, koordinatalari x va x + dx, u va u + dy, z va z+ dz bulgan sohada zarrachaning bulish extimolligini belgilaydi.
Kvant mexanikasida, mikrozarrachalar xolatini ta’riflovchi to’lqin funksiya zarrachalarning korpuskulyar va to’lqin xususiyatlarini uzida aks ettiruvchi funksiyadir.
dV xajm elementida zarrachani topish extimolligi
dw = /\² dV, (87.2)
ga teng. Bu erda

1. 
   i2 dw
   

w\ = —

2. 
   dV
   

extimollik zichligini belgilaydi.
SHunday kilib / - to’lqin funksiyasi emas, balki de Broyl
^ ^ I |2
to’lqinining jadalligini kursatuvchi, uning modulini kvadrati \/\ fizik ma’noga egadir.
CHegaralangan xajmda - V, t vakt momentida zarrachani topish extimolligi
w = | dw = | /² dV
V V
ga teng. Bu funksiya kiymati 1 ga teng bulganda zarrachaning bu xajmda bulish extimolligi eng katta kiymatga ega bo’ladi, va


+GO
| " dV = 1


(87.3)


278

extimollikni tartibga solish yoki normallash sharti deb ataladi. Bu

shart zarrachaning fazo va vakt buyicha (borligini) mavjudligini belgilaydi.
To’lqin fuknsiyasi superpozitsiya prinsipini kanoatlantiradi. Agarda, tizim /₁,/₂,..../_n to’lqin funksiyalari bilan ifodalanadigan xar xil xolatlarda bo’lsa, uning umumiy xolatini kuyidagicha ta’riflash mumkin:
/ = E ^cn/n
n


bu erda c_n(n = 1,2,....) - ixtiyoriy kompleks sonlardan iborat bo’ladi. Demak, kvant mexanikasida to’lqin funksiyalarini (extimollik amplitudalarini) kushish mumkin. Klassik statistikada bir - biriga bog’liq bulmagan xodisalar uchun extimolliklarni kushish teoremasi kullaniladi.
Mikrozarrachalar xolatining asosiy xarakteristikasi bulgan / to’lqin funksiyasi, kvant mexanikasida xolatlarga tegishli fizikaviy kattaliklarning urtacha kiymatini xisoblash imkoniyatini beradi.
Masalan, elektronning yadrodan kanday urtacha masofada bulishini kuyidagi ifoda orkali xisoblash mumkin:
< r >= | r / ² dV


—w

76. 
    - §. SHredinger tenglamasi
    

De Broyl to’lqinlarini va Geyzenberg noaniklik munosabatlarini izoxlash kuyidagi fikrga olib keldi:

• 
  kvant mexanikasida mikrozarrachalarning xar xil kuch maydonlaridagi xarakatini ta’riflovchi xarakat tenglamasi zarrachalarning to’lqin xususiyatini yoritib berishi zarur bo’ladi.
  

Asosiy tenglama / (x, y, z, t) to’lqin funksiyasiga nisbatan va elektromagnit to’lqinlarni xarakterlovchi to’lqin tenglamasiga uxshash bulishi kerak. Bunday tenglama SHredingerning umumiy tenglamasi deb ataladi va kuyidagi kurinishga ega bo’ladi:


279

^{h A}/ + ^U(x,y,z,t)/ = ih, (₈₈₁)

2m dt
* ^h
bu erda ^h = —, m - zarracha massasi, A - Laplas operatori
d /g
i - mavxum birlik, U(x, u, z, t) - kuch


j


d / d / d /
^A/ =^T + ^G + ^G
dx du dz
maydonidagi zarrachaning potensial funksiyasi, / (x, u, z, t) - zarrachaning to’lqin funksiyasi. Bu ifoda vatstga boglщ bulgan SHredinger tenglamasi deb ataladi.
Mikrodunyoda sodir bo’ladigan kup fizikaviy xodisalar uchun, bu tenglamani, vaktga bog’liqligidan chikarib, soddalashtirish mumkin. Bu xolda SHredinger tenglamasi energiya kiymatlari belgilangan bulgan stansionar xolatlarga to’g’ri keladi, ya’ni zarracha xarakatlanayotgan kuch maydoni uzgarmas bulishi kerak U (x, u, z, t).
SHredinger tenlamasining echimi - bittasi koordinataga bog’liq bulgan, ikkinchisi vaktga bog’liq bulgan funksiyalar kupaytmasidan iborat bo’ladi
E —i—t
/(x, u, z, t) = /(x, u, z)e ^h , (88.2)
bu erda E - zarrachaning tula energiyasi, u uzgarmas maydon uchun
uzgarmas kattalikdir. (27.2) - ifodani SHredinger tenglamasiga kuysak


2 .E .E f 77 \ .E
— i—t — i—t E — i—t


2m

• 
  i — t
  

h j


E —i—t
ga ega bulamiz. Tenglamaning ikki tarafini e ^h ga bo’lsak, kuyidagini keltirib chikaramiz:
2m
^A/ + T^{G (E — U})/ = ⁰ ’ (88.3)
bu ifoda stansionar uolatlar uchun SHredinger tenglamasi deb ataladi.


280




Differensial tenglamalar nazariyasida bu tenglama bexisob echimlarga ega, ammo ular orasida fizikaviy ma’noga ega bulganini, chegaraviy shartlar kuyilganda aniklanadi.
SHredinger tenglamasi uchun bunday chegaraviy shartlar kuyidagilar bulishi mumkin:

• 
  to’lqin funksiyasi davriyligi;
  
• 
  to’lqin funksiyasining chekliligi, anikligi va uzluksizligi (birinchi xosilasi xam).
  

Demak, / - davriy funksiyaga javob beradigan echimlargina xakikiy fizikaviy ma’noga ega bo’ladi. Bu echimlar tula energiyaning barcha kiymatlarida emas, balki kuyilgan masalaga tegishli ayrim kiymatlarida urinli bo’ladi va energiyaning bunday kiymatlari - xususiy echimlar deb ataladi.
Xususiy kiymatlarga mos bulgan funksiyalar xususiy funksiyalar deb ataladi.

76. 
    - §. Erkin zarrachaning xarakati
    

Erkin zarrachaning xarakatida (U(x) = 0) uning tula energiyasi kinetik energiya bilan mos tushadi. X uki buylab xarakatlanayotgan erkin zarracha statsionar xolati uchun SHredinger tenglamasi kuyidagi kurinishga ega bo’ladi:
d²/ 2t
1X2⁺12 ^E/ = ^ (^89L>