Mavzu: DIFFERENSIAL TENGLAMALARNING MEXANIKA VA FIZIKA MASALALARIGA QOʻLLANILISHI “Algoritmlash va matematik modellashtirish” kafedrasi dotsenti Mirzayev Anvar Nazirovich 8-MAVZU: DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI MEXANIKA VA FIZIKA MASALALARIGA QOʻLLANILISHI Mexanika va fizika masalalarini matematik modellashtirishda koʻp hollarda differensial tenglamalar hosil boʻladi. Bu esa oʻrganilayotgan jarayonni uning matematik modeli yaʼni differensial tenglamalar asosida tadqiqot qilish imkoniyatini yaratadi. Masalan moddiy jismni harakat qilishida bosib oʻtilgan masofa, tezlik va tezlanish oʻrtasidagi bogʻlanishlar quyidagicha tengliklar bilan ifodalanadi: (1) Nyutonning 2-qonuniga koʻra tezlanish va jismga taʼsir qiluvchi kuch oʻrtasidagi bogʻliqlik ifodalanadi. (2) (1) tenglikda harakat toʻgʻri chiziqli deb faraz qilinadi. Agar harakat toʻgʻri chiziqli boʻlmasa, (1) tenglikda ham vector shaklga oʻtish lozim. (1) tenglamalar yozilishidan koʻrinib turibdiki ular differensial tenglamalarni tashkil qiladi. Quyidagicha masalani qarab chiqamiz: Massasi m ga teng boʻlgan moddiy nuqta tepaga vertikal ravishda boshlangʻich tezlik bilan otilgan boʻlsin (1-rasm). Ushbu nuqta qanday y balandlikka erishishini aniqlang. Harakat toʻgʻri chiziqli boʻlgani uchun, oʻzgaruvchilarning skalyar shakllaridan foydalanish mumkin. Harakat oʻqini vertikal yuqoriga qarab yoʻnaltiramiz. Koordinata boshini harakat boshlanadigan nuqtadaga joylashtiramiz. Jismni material nuqta deb faraz qilganimiz uchun, havoni qarshiligini eʼtiborga olmaymiz va unga faqat ogʻirlik kuchi taʼsir qilayapti deb hisoblaymiz.
Nyuton qonuniga koʻra (2) ni koʻrinishda yozish mumkin. Bu yerda minus ishora olinadi, chunki ogʻirlik kuchi harakatga qarama-qarshi yoʻnalishda pastga qarab yoʻnalgan. (1) munosabatlardan foydalanamiz. Masofani x(t) orqali belgilaymiz. Harakat boshlanmasidan oldin nuqta koordinata boshida boʻlgani uchun x(0)=0 deb olamiz, u holda harakatning quyidagicha matemarik modelini olamiz (a=-g ekanligini e’tiborga olamiz).
Ushbu differensial tenglamalar sistemasini birin-ketin ketma-ketlikda ishlash mumkin. Birinchi tenglamadan quyidagiga ega boʻlamiz: Boshlangʻich shartdan foydalanib C parametrni qniqlaymiz. ekanligini aniqlaymiz. Natijada ifodaga ega boʻlamiz. Ikkinchi tenglamani integrallaymiz: aniqlash uchun boshlangʻich shartdan foydalanamiz ekanligini aniqlaymiz. Shunday qilib masofa uchun quyidagicha tenglamaga ega boʻlamiz: . Nuqta erishishi mumkin boʻlgan maksimal balandlikni aniqlash uchun, shuni taʼkidlash kerakki nuqta yuqoriga qarab koʻtarilgan sari tezlik kamayib boradi va maʼlum bir balanddlikda nolga aylanadi, shundan keyin yana pastga qarab qulashni boshlaydi. Shunday qilib v=0 shartdan t ni topamiz va uni x(t) ga qoʻyib qidirilayotgan balandlikni topamiz: Agar jism oʻlchamlarini eʼtiborga olinsa, u holda havo qarshiligini eʼtiborga olish lozim. Havoning qarshilik kuchi jism tezligiga proporsional va harakatga teskari yoʻnalgan. Natijada harakatning matematik modeli quyidagicha koʻrinishni oladi: Bu yerda koeffitsiyent jism koʻndalang kesimi yuzasiga bogʻliq va koʻrilayotgan hol uchun eksperimental koʻrinishda aniqlanadi. Berilgan modelni yechish va tahlil qilishni mustaqil bajarishni tavsiya qilamiz. Agar harakat toʻgʻri chiziqli boʻlmasa, u holda tezlikni vector kattalik deb qarash kerak. Tekislikdagi holni qarash bilan chegaralanamiz. Masala 2. Massasi m ga teng boʻlgan moddiy nuqta Gorizont boʻyicha burchak ostida tezlik bilan tashlandi (2-rasm). Matematik model qurilsin, maksimal balandlik va uchish masofasi topilsin. oʻqni gorizontal, oʻqni vertical yoʻnaltiramiz. Koordinata boshini moddiy nuqta tashlangan nuqtaga joylashtiramiz. Bunday holda bunda va oʻqlarning birlik vektorlari. vaqtning t momentida nuqtaning holati. Ushbu tenglamalardan larni topish uchun quyidagicha munosabatlarni olamiz: (3) (4) Ushbu (3), (4) differensial tenglamalarning yechimlari birinchi masaladagidek topiladi. Radioaktiv elementlarning parchalanish jarayoni ham etarlicha soda differensial tenglama bilan ifodalanadi. (5) bunda – radioaktiv ximil elementlar uchun aniqlanadigan koeffitsiyent. (5) tenglamaning yechimi koʻrinishga ega. Boshlangʻich shartdan ekanligini aniqlaymiz. Demak . Bundan koʻrinadiki vaqt oʻtishi bilan massa kamayar ekan.
Elektrik zanjirlar uchun kuchlanish manbasi , faol qarshilik , L induktivlik va C kondensatordan tashkil topgan uchqutb modelini koʻrib chiqaylik (3-rasm), Ushbu elementlardagi kuchlanish vat tok oʻrtasidagi bogʻlanish quyidagicha formulalar bilan beriladi:
Kirxgofning birinchi va ikkinchi qonunlaridan ekanligi kelib chiqadi, ushbu elementlar ketma-ket ulanganligi va (7) boʻlgani uchun, (7) tenglikni differensiallaymiz va (6) munosobatlardan foydalanamiz. Natijada quyidagiga ega boʻlamiz: (8) (8) tenglama uchqutbning (3-rasm) matematik modelini namoyish qiladi. Bu tenglama oʻzgarmas koeffitsiyentli 2-tartibli chiziqli differensial tenglama. Tok oʻchirilganda, yaʼni boʻlganda avtonom sistemani tasvirlovchi bir jinsli differensial tenglamaga kelamiz. Avtonom sistemalar haqida keying maʻruzalarda toʻxtalamiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
